При каких условиях справедливо соотношение L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [дубликат]

Я предполагаю, что по$I$вы имели в виду момент инерции относительно заданной оси. Тогда вы правы, отношение$\vec L=I\vec ω$не держит в общем. Так, например, частица, совершающая круговое движение вокруг$z$-ось на плоскости$z=z_0$имеет угловой момент относительно начала координат, который не указывает в$z$направление. Более того, он прецессирует о$z$-ось.

Общая формула$\vec L=\mathbb I\vec\omega$, где$\mathbb I$это так называемый тензор инерции , симметричная матрица три на три, шесть независимых параметров которой дают всю информацию о инерции вращения тела.

Можно показать, что для любого твердого тела существует по крайней мере три перпендикулярные оси вращения, называемые главными осями инерции , такие, что угловой момент параллелен угловой скорости. Фактически эти оси являются собственными векторами тензора инерции.

Вернемся к ранее упомянутому примеру. Если добавить идентичную частицу, вращающуюся в диаметрально противоположном положении относительно первой, то$xy$составляющая полного углового момента компенсирует$\vec L$и$\vec \omega$параллельны. Как мы видим, если распределение масс симметрично относительно оси вращения, то угловой момент и угловая скорость параллельны, и эта ось фактически является главной осью инерции.

Подводя итог, ось вращения, являющаяся одной из главных осей инерции, является достаточным, а также необходимым условием для$\vec L$и$\vec\omega$быть параллельным. Часто можно найти главные оси без необходимости диагонализовать тензор инерции. Можно доказать следующие правила:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, содержащую исходную точку$O$(из которого вычисляется тензор инерции), то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через$O$является главной осью.
2. Ось симметрии через$O$является главной осью. Любые две взаимно ортогональные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, являются главными осями. Обратите внимание, что под «симметрией» мы подразумеваем, что плотность массы симметрична относительно вращения.