Каковы точные формулировки Шурии Рэя о проблемах динамики частиц, поставленных Ньютоном, которые, как утверждается в этой новостной статье, были решены?

В этой ветке (physicsforums.com) есть ссылка на постер Shouryya Ray , в котором он представляет свои результаты.

Итак, задача состоит в том, чтобы найти траекторию движения частицы под действием силы тяжести и квадратичного сопротивления воздуха. Управляющие уравнения, как они представлены на плакате:

$$\dot u(t) + \alpha u(t) \sqrt{u(t)^2+v(t)^2} = 0 \\ \dot v(t) + \alpha v(t) \sqrt{u(t)^2 + v(t)^2} = -g\text,$$

при начальных условиях$v(0) = v_0 > 0$а также$u(0) = u_0 \neq 0$.

Таким образом (это легко вывести), в его обозначениях$u(t)$- горизонтальная скорость,$v(t)$- вертикальная скорость,$g$ускорение свободного падения, а$\alpha$является коэффициентом сопротивления.

Затем он записывает решения

$$u(t) = \frac{u_0}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots} \\ v(t) = \frac{v_0 - g\left[t + \tfrac{1}{2!} \alpha V_0 t^2 - \tfrac{1}{3!} \alpha gt^3 \sin \theta + \tfrac{1}{4!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right)t^4 + \cdots\right]}{1 + \alpha V_0 t - \tfrac{1}{2!}\alpha gt^2 \sin \theta + \tfrac{1}{3!}\left(\alpha g^2 V_0 \cos^2 \theta - \alpha^2 g V_0 \sin \theta\right) t^3 + \cdots}\text.$$

Из диаграммы под фотографией Ньютона видно, что$V_0$начальная скорость, а$\theta$- начальный угол возвышения.

Плакат (или, по крайней мере, та часть, которая видна) не дает подробностей о выводе решения. Но некоторые вещи можно увидеть:

• В самом начале он использует замену$\psi(t) = u(t)/v(t)$.

• Есть раздел под названием "...öße der Bewegung". Первое слово неясно, но можно предположить, что это «Erhaltungsgröße der Bewegung», что можно перевести как «сохраняемое количество движения». Здесь появляется сохраняющаяся величина, описанная Давидом Заславским, по модулю некоторых проблем со знаками.

• Однако этот раздел кажется подразделом более крупного раздела «Aus der Lösungablesbare Eigenschaften» или «Свойства, которые можно увидеть из решения». Кажется, это означает, что решение подразумевает закон сохранения, а не решение, полученное из закона сохранения. Текст в этом разделе, вероятно, дает некоторую подсказку, но он виден лишь частично, и, ну, мой немецкий ржавый. Я приветствую кого-то еще, чтобы попытаться понять это.

• Также частью большего раздела являются подразделы, в которых он выводит из своего решения (а) траекторию для классических снарядов без сопротивления, (б) некоторое «Лэмб-Нэхерунг» или «приближение Лэмба».

• Следующий раздел называется «Verallgemeneirungen» или «Обобщения». Здесь он, кажется, рассматривает две другие проблемы с сопротивлением формы$\alpha V^2 + \beta$, при наличии горизонтального ветра, зависящего от высоты. Я не уверен, каковы результаты здесь.

• Диаграммы слева, кажется, демонстрируют точность и сходимость его решения ряда, сравнивая их с Рунге-Куттой. Хотя текст какой-то размытый, и, опять же, мой немецкий ржавый, так что я не слишком уверен.

• Вот грубый перевод первой части «Zusammanfassung und Ausblick» (Резюме и перспективы) с соответствующими оговорками относительно точности:

• Впервые полностью аналитическое решение давно нерешенной проблемы
• Различные отличные свойства; в частности, сохраняющееся количество$\Rightarrow$фундаментальное [...] извлечение глубоких новых идей с использованием полных аналитических решений (прежде всего [...] необходимо получить перспективы и приближения)
• Сходимость решения продемонстрирована численно
• Эскиз решения для двух обобщений

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Два профессора TU Dresden, которые видели работу г-на Рэя, написали несколько комментариев:

Комментарии к некоторым недавним работам Шурии Рэй

Там недвусмысленно изложены вопросы, которые он решил, так что это должно ответить на любые нерешенные вопросы.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Я должен добавить: я не сомневаюсь, что Шурия Рэй — очень умный молодой человек. Решение, которое он дал, возможно, можно получить стандартными методами. Я полагаю, однако, что он нашел решение, не зная, что методы были стандартными, что действительно является очень замечательным достижением. Я надеюсь, что это событие не обескуражило его; несомненно, однажды он станет успешным физиком или математиком, если выберет этот путь.

Действительно, довольно сложно найти информацию о том, почему именно этот проект привлек такое внимание. Из комментариев на различных веб-сайтах и ​​некоторых изображений (в основном этого ) я собрал воедино то, что Шурия Рэй обнаружил следующую константу движения снаряда с квадратичным сопротивлением:

$$\frac{g^2}{2v_x^2} + \frac{\alpha g}{2}\left(\frac{v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_x^2} + \sinh^{-1}\biggl|\frac{v_y}{v_x}\biggr|\right) = \text{const.}$$

Это относится к частице, на которую действует квадратичная сила сопротивления,

$$\vec{F}_d = -m\alpha v\vec{v}$$

Легко проверить, что константа постоянна, взяв производную по времени и подставив уравнения движения

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_x\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} &= -\alpha v_y\sqrt{v_x^2 + v_y^2} - g\end{align}$$

Преобладает мнение, что это не было известно раньше, хотя некоторые люди утверждают, что видели это в старых учебниках (правда, никогда со ссылкой, так что принимайте это как хотите).

Я не слышал ничего конкретного о том, как это можно применить на практике, хотя, возможно, это часть технических деталей проекта. Баллистические траектории с сопротивлением уже можно вычислять с очень высокой точностью с помощью численных методов, и наличие этой константы, насколько я могу судить, напрямую не ведет к новому методу расчета траекторий.

I) Здесь мы хотели бы дать гамильтонову формулировку точечной частицы в постоянном гравитационном поле с квадратичным сопротивлением воздуха

$$\tag{1} \dot{u}~=~ -\alpha u \sqrt{u^2+v^2}, \qquad \dot{v}~=~ -\alpha v \sqrt{u^2+v^2} -g.$$

The $u$а также$v$- горизонтальная и вертикальная скорость соответственно. Точка сверху обозначает дифференцирование по времени.$t$. Две положительные константы$\alpha>0$а также$g>0$можно положить в единицу, масштабируя три переменные

$$\tag{2} t'~=~\sqrt{\alpha g}t, \qquad u'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}u, \qquad v'~=~\sqrt{\frac{\alpha}{g}}v.$$

См., например, ссылку. [1] для общего введения в формулировки Гамильтона и Лагранжа.

II) Определить две канонические переменные ( обобщенное положение и импульс) как

$$\tag{3} q~:=~ -\frac{v}{|u|}, \qquad p~:=~ \frac{1}{|u|}~>~0.$$

(Позиция$q$это (до знаков) Шоурия Рэй$\psi$переменная, а импульс$p$является ( с точностью до мультипликативного множителя) Шурией Реем$\dot{\Psi}$переменная. Мы предполагаем$^\dagger$для простоты, что$u\neq 0$.) Тогда уравнения движения (1) принимают вид

$$\tag{4a} \dot{q}~=~ gp,$$ $$\tag{4b} \dot{p}~=~ \alpha \sqrt{1+q^2}.$$

III) Уравнение (4а) предполагает, что мы должны определить$\frac{1}{g}$с массой

$$\tag{5} m~:=~ \frac{1}{g},$$

так что мы имеем стандартное выражение

$$\tag{6} p~=~m\dot{q}$$

для импульса нерелятивистской точечной частицы. Далее определим кинетическую энергию

$$\tag{7} T~:=~\frac{p^2}{2m}~=~ \frac{gp^2}{2}.$$

IV) Уравнение (4b) и второй закон Ньютона предполагают, что мы должны определить модифицированную силу Гука

$$\tag{8} F(q)~:=~ \alpha \sqrt{1+q^2}~=~-V^{\prime}(q),$$

с потенциалом, заданным (минус) первообразной

$$V(q)~:=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{9} ~=~ - \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + \ln(q+\sqrt{1+q^2})\right).$$

Обратите внимание, что это соответствует нестабильной ситуации, потому что сила$F(-q)~=~F(q)$является четной функцией, а потенциал$V(-q) = - V(q)$является монотонной нечетной функцией положения$q$.

Заманчиво определить переменную угла$\theta$в качестве

$$\tag{10} q~=~\tan\theta,$$

так что соответствующие сила и потенциал читаются

$$\tag{11} F~=~\frac{\alpha}{\cos\theta} , \qquad V~=~- \frac{\alpha}{2} \left(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} + \ln\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right).$$

V) Гамильтониан – это полная механическая энергия

$$H(q,p)~:=~T+V(q)~=~\frac{gp^2}{2}- \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$ $$\tag{12}~=~\frac{g}{2u^2} +\frac{\alpha}{2} \left( \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{u^2} + {\rm arsinh}\frac{v}{|u|}\right).$$

Поскольку гамильтониан$H$не содержит явной зависимости от времени, механическая энергия (12) сохраняется во времени, что является первым интегралом движения Шурии Рэя.

$$\tag{13} \frac{dH}{dt}~=~ \frac{\partial H}{\partial t}~=~0.$$

VI) Гамильтоновыми уравнениями движения являются уравнения. (4). Предположим, что мы знаем$q(t_i)$а также$p(t_i)$в какой-то начальный момент$t_i$, и мы хотели бы найти$q(t_f)$а также$p(t_f)$в какой-то последний момент$t_f$.

Гамильтониан$H$является генератором эволюции времени. Если ввести каноническую равновременную скобку Пуассона

$$\tag{14} \{q(t_i),p(t_i)\}~=~1,$$

тогда (минус) векторное поле Гамильтона читается

$$\tag{15} -X_H~:=~-\{H(q(t_i),p(t_i)), \cdot\} ~=~ gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)} + F(q(t_i))\frac{\partial}{\partial p(t_i)}.$$

Для полноты отметим, что в терминах исходных переменных скоростей скобка Пуассона имеет вид

$$\tag{16} \{v(t_i),u(t_i)\}~=~u(t_i)^3.$$

Мы можем записать формальное решение для положения, импульса и силы, как

$$q(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}q(t_i) ~=~ q(t_i) - \tau X_H[q(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[q(t_i)]]+\ldots \qquad$$ $$\tag{17a} ~=~ q(t_i) + \tau g p(t_i) + \frac{\tau^2}{2}g F(q(t_i)) +\frac{\tau^3}{6}g \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\ldots ,\qquad$$ $$p(t_f) ~=~ e^{-\tau X_H}p(t_i) ~=~ p(t_i) - \tau X_H[p(t_i)] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[p(t_i)]]+\ldots\qquad$$ $$~=~p(t_i) + \tau F(q(t_i)) +\frac{\tau^2}{2}\frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))}$$ $$\tag{17b} + \frac{g\alpha^2\tau^3}{6} \left(q(t_i) + \frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$ $$F(q(t_f)) ~=~ e^{-\tau X_H}F(q(t_i))$$ $$~=~ F(q(t_i)) - \tau X_H[F(q(t_i))] + \frac{\tau^2}{2}X_H[X_H[F(q(t_i))]] + \ldots\qquad$$ $$\tag{17c}~=~ F(q(t_i)) + \tau \frac{g\alpha^2p(t_i)q(t_i)}{F(q(t_i))} +\frac{g(\alpha\tau)^2}{2}\left(q(t_i) +\frac{g\alpha^2 p(t_i)^2}{F(q(t_i))^3}\right) +\ldots ,\qquad$$

и рассчитать в любом порядке по времени$\tau:=t_f-t_i$, мы хотели бы. (Для проверки отметим, что если продифференцировать (17а) по времени$\tau$, получается (17b), умноженное на$g$, а если продифференцировать (17б) по времени$\tau$, получается (17с), ср. экв. (4).) Таким образом, мы можем получить разложение Тейлора по времени$\tau$формы

$$\tag{18} F(q(t_f)) ~=~\alpha\sum_{n,k,\ell\in \mathbb{N}_0} \frac{c_{n,k,\ell}}{n!}\left(\tau\sqrt{\alpha g}\right)^n \left(p(t_i)\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\right)^k \frac{q(t_i)^{\ell}}{(F(q(t_i))/\alpha)^{k+\ell-1}}.$$

Безразмерные универсальные константы$c_{n,k,\ell}=0$равны нулю, если либо$n+k$или же$\frac{n+k}{2}+\ell$не являются четным целым числом. У нас есть закрытое выражение

$$F(q(t_f)) ~\approx~ \exp\left[\tau gp(t_i)\frac{\partial}{\partial q(t_i)}\right]F(q(t_i)) ~=~ F(q(t_i)+\tau g p(t_i))$$ $$\tag{19} \qquad \text{for} \qquad ~ p(t_i)~\gg~\frac{ F(q(t_i))}{\sqrt{\alpha g}},$$

когда можно пренебречь вторым слагаемым в гамильтоновом векторном поле (15).

VII) Соответствующий лагранжиан есть

$$\tag{20} L(q,\dot{q})~=~T-V(q)~=~\frac{\dot{q}^2}{2g}+ \frac{\alpha}{2} \left(q \sqrt{1+q^2} + {\rm arsinh}(q)\right)$$

с лагранжевым уравнением движения

$$\tag{21} \ddot{q}~=~ \alpha g \sqrt{1+q^2}.$$

По сути, это Шоурия Рэй.$\psi$уравнение.

Использованная литература:

1. Герберт Гольдштейн, Классическая механика.

---

$^\dagger$Обратите внимание, что если$u$становится нулем в какой-то момент, он остается нулем в будущем, ср. уравнение (1). Если$u\equiv 0$тождественно, то уравнение (1) принимает вид

$$\tag{22} -\dot{v} ~=~ \alpha v |v| + g.$$

Решение уравнения (22) для отрицательных$v\leq 0$является

$$\tag{23} v(t) ~=~ -\sqrt{\frac{g}{\alpha}} \tanh(\sqrt{\alpha g}(t-t_0)) , \qquad t~\geq~ t_0,$$

куда$t_0$является константой интегрирования. В целом,

$$\tag{24} (u(t),v(t)) ~\to~ (0, -\sqrt{\frac{g}{\alpha}}) \qquad \text{for} \qquad t ~\to~ \infty ,$$

пока

$$\tag{25} (q(t),p(t)) ~\to~ (\infty,\infty) \qquad \text{for} \qquad t~\to~ \infty.$$