Трехмерная баллистическая траектория с квадратичным сопротивлением. Вычисление положения и скорости в момент времени ttt

Частица начинается в начале координат и имеет начальную скорость, представленную трехмерным вектором. Частица испытывает гравитацию и сопротивление воздуха с квадратичным сопротивлением (на основе скорости ^ 2). Я искал параметрические уравнения для$x$,$y$, и$z$положение и скорость частицы в данный момент времени$t$.

Чтобы ответы были одинаковыми, две константы будут равны g как сила тяжести и a как сопротивление воздуха. Также предположим$z$является положительной высотой.$v_x(t)$будет скорость для$x$компонент во время$t$.${v_x}_0$будет представлять начальную скорость для$x$компонент.

Внизу этой статьи в Википедии говорится о аналитическом решении проблемы 2D, предложенном подростком Шурией Рэй. По соответствующим ссылкам Math.SE и Phys.SE люди обсуждают решение постоянной трения, но параметрические уравнения нигде не приведены. Я не уверен, как перейти от того, о чем они говорят, к фактическим параметрическим уравнениям, которые мне нужны.

Чтобы охватить то, что я узнал до сих пор. В 3D с гравитацией и без сопротивления можно использовать следующие параметрические уравнения:

$v_x(t) = {v_x}_0$

$v_y(t) = {v_y}_0$

$v_z(t) = {v_z}_0-gt$

$s_x(t) = {v_x}_0t$

$s_y(t) = {v_y}_0t$

$s_z(t) = {v_z}_0t - \frac{1}{2} g * t^2$

С линейным перетаскиванием согласно статье в Википедии, которую мы использовали:

$v_x(t) = {v_x}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_y(t) = {v_y}_0e^{-\frac{a}{m}t}$

$v_z(t) = -\frac{mg}{a}+({v_z}_0+\frac{mg}{a})e^{-\frac{a}{m}t}$

$s_x(t) = \frac{m}{a}{v_x}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_y(t) = \frac{m}{a}{v_y}_0(1-e^{-\frac{a}{m}t})$

$s_z(t) = -\frac{m * g}{a}t + \frac{m}{a}({v_z}_0 + \frac{m*g}{a})(1 - e^{-\frac{a}{m}t})$

При квадратичном сопротивлении у нас есть длина скорости, поэтому скорость и положение каждого компонента во времени зависят от других компонентов скорости. Начиная с этого поста я могу написать 3D версию для первой части:

$v_x' = -av_x*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_y' = -av_y*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$v_z' = -av_z*\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}-g$

Но мне не хватает математической подготовки, чтобы продолжать. Мне даже непонятно, для чего используется рассчитанная ими постоянная трения, поскольку она не основана на времени. Я думаю, что любой трюк, который пытается вычислить постоянный коэффициент, должен знать о t. Наверное, я неправильно об этом думаю. Любая помощь будет оценена по достоинству, поскольку я предполагаю, что это распространенная проблема в физике.

редактировать: Также мой проблемный случай специально предназначен для постоянного вектора гравитации, если это помогает для конкретных решений, поэтому путь должен быть своего рода параболой. Насколько я могу судить, должна быть функция, поскольку для каждого x есть одно значение y.