Вариация метрики относительно метрики

Поскольку метрика$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$симметрична, мы должны потребовать, чтобы

$$\begin{align} \delta g_{\mu\nu}~=~&\delta g_{\nu\mu}\cr~=~&\frac{1}{2}\left(\delta g_{\mu\nu}+\delta g_{\nu\mu}\right)\cr~=~&\frac{1}{2}\left( \delta_{\mu}^{\alpha}\delta_{\nu}^{\beta} + \delta_{\nu}^{\alpha}\delta_{\mu}^{\beta}\right)\delta g_{\alpha\beta},\end{align}\tag{1}$$

и поэтому

$$\frac{\delta g_{\mu\nu}}{\delta g_{\alpha\beta}} ~=~\frac{1}{2}\left( \delta_{\mu}^{\alpha}\delta_{\nu}^{\beta} + \delta_{\nu}^{\alpha}\delta_{\mu}^{\beta}\right).\tag{2}$$

Цена, которую мы платим за обработку элементов матрицы$g_{\alpha\beta}$как$n^2$независимые переменные (в отличие от$\frac{n(n+1)}{2}$симметричных элементов) заключается в том, что в недиагональных вариациях появляется половина.

Другая проверка формализма состоит в том, что правая и левая стороны уравнения. (2) должны быть идемпотентами из-за цепного правила. Для получения дополнительной мотивации см., например, этот пост Phys.SE.

Другим подходом будет - адаптированный к случаю симметричных матриц в OP, но также действительный для общих симметричных массивов, а также во многих других контекстах - рассмотрение пространства$S^2_n$из$n\times n$симметричные матрицы, рассматриваемые как координатное пространство$S^2_n=\mathbb R^{n(n+1)/2}$со стандартными координатами

$$(s^{ij})_{i\le j}=(s^{11},s^{12},...,s^{1n},s^{22},s^{23},...,s^{33},s^{34},...),$$ и, таким образом, функция$f(s)=f(s^{11},s^{12},...,s^{1n},s^{22},s^{23},...)$не зависит ни от одного из$s^{ji}$($i<j$), потому что на самом деле это не координаты на$S^2_n$.

Также определите$T^2_n$быть пространством$n\times n$матрицы, рассматриваемые как$T^2_n=\mathbb R^{n^2}$, с (неограниченными) координатами

$$(x^{ij})_{i,j=1,...,n}=(x^{11},...,x^{1n},x^{21},...).$$

В этом подходе$S^2_n$не является подпространством$T^2_n$, но мы можем определить две карты, включение $\imath:S^2_n\rightarrow T^2_n$и проекция / симметризация $\sigma:T^2_n\rightarrow S^2_n$, определяемый следующим образом.

Если$s=(s^{ij})_{i\le j}$, затем$x^{ij}=\imath(s)^{ij}$определяется как

$$x^{ij}=\left\{\begin{matrix} s^{ij} & i\le j \\ s^{ji} & i>j\end{matrix}\right. ,$$ т.е. это естественное продолжение$(s^{ij})_{i\le j}$в симметричный массив, а проекция/симметризация определяется как - если$s=\sigma(x)$- так что $$s^{ij}=x^{(ij)}=\frac{1}{2}(x^{ij}+x^{ji}),\ i\le j,$$ т.е. мы сначала симметрируем$x^{ij}$, и ограничить значения индексов так, чтобы$i\le j$.

Четко$\sigma$является левой инверсией$\imath$в смысле$\sigma\circ\imath=\mathrm{Id}_{S^2_n}$.

---

Теперь мы можем рассмотреть касательные векторы на$S^2_n$и$T^2_n$, на первом общий касательный вектор имеет вид

$$v=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial}{\partial s^{ij}}|_s \in T_sS^2_n,$$ тогда как на последнем имеем $$w=\sum_{i,j}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}|_x\in T_xT^2_n.$$

Мы пытаемся связать производные по ограниченным переменным$s^{ij}$к производным по неограниченным переменным$x^{ij}$заметив, что для любого вектора$v\in T_sS^2_n$и функция$f\in C^\infty(S^2_n)$у нас есть

$$v(f)=v(f\circ\sigma\circ\imath)=\imath_\ast(v)(\sigma^\ast f),$$ где$\imath_\ast$является выдвинутым по включению и$\sigma^\ast$является откатом по симметризации.

У нас есть

$$(\sigma^\ast f)(x)=(f\circ\sigma)(x)=f(\sigma(x)).$$ Вычисление производной дает $$\frac{\partial(f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}(x)=\sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{\partial\sigma^{kl}}{\partial x^{ij}}(x) = \sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{\partial\frac{1}{2}(x^{kl}+x^{lk})}{\partial x^{ij}}(x) \\= \sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j) ,$$ и как таковой для любого касательного вектора$w=\sum_{ij}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}$мы получаем $$w(f\circ \sigma)=\sum_{i,j}w^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}(x)=\sum_{i,j}\sum_{k\le l} w^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j) \\ =\sum_{k\le l}\frac{1}{2}\left( w^{kl}+w^{lk}\right)\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(s)).$$

Предположим теперь, что существует касательный вектор$v=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial}{\partial s^{ij}}|_s\in T_sS^2_n$такой, что$w=\imath_\ast(v)$. Очень легко проверить (используя, например, определение касательной карты в терминах кривых), что$\imath_\ast(v)$просто$\sum_{ij}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}|_{x=\imath(s)}$, где$w^{ij}$являются просто симметричными расширениями$v^{ij}$.

Таким образом, мы получаем строго, что

$$v(f)=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{ij}}|_s=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}|_{x=\imath(s)},$$ где при последнем равенстве компоненты$v^{ij}$были автоматически симметрично расширены.

---

Теперь применим это к случаю, когда$f=s^{kl}$является координатной функцией, и продолжим координатные функции симметрично так, чтобы$s^{kl}=s^{lk}$для неограниченных значений индексов. Затем

$$v(s^{kl})=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial s^{kl}}{\partial s^{ij}}=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial(s^{kl}\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial\sigma^{kl}}{\partial x^{ij}}\\=\sum_{ij}v^{ij}\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j).$$ Мы должны рассматривать это как равенство $$\sum_{ij}v^{ij}\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\sum_{ij}v^{ij}\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j),$$ что верно для всех (даже несимметричных)$v^{ij}$и мы получаем $$\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j).$$ Это результат, который мы могли бы получить намного раньше с гораздо меньшим количеством пуха, но....

---

Суть пуха в том, что нет смысла считать$\partial s^{kl}/\partial s^{ij}$для$i>j$, поэтому мы определяем

$$\frac{\partial s^{kl}}{\partial s^{ij}}\equiv\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j)$$ как своего рода злоупотребление обозначениями. Но это злоупотребление не опасно, так как, как мы видели, для любого массива$v^{ij}_{i\le j}$которые мы автоматически симметрично расширяем, мы имеем $$\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{ij}}\equiv\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}},$$ следовательно, если мы используем$\partial f/\partial s^{ij}$с неограниченными индексами как сокращение для симметричного$\partial (f\circ\sigma)/\partial x^{ij}$, и заменим все ограниченные суммы неограниченными, мы получим те же результаты, но цена этого в том, что через эту идентификацию мы получим странный результат$\partial s^{12}/\partial s^{12}=1/2$.