Влияет ли сигнатура метрики на тензор энергии напряжения?

1. Соглашение о знаках для тензора энергии-импульса напряжения (SEM) $T^{\mu\nu}$обычно выбирается так, чтобы плотность энергии$T^{00}$(или$T_{00}$) положительный.

   Условные знаки для действия обычно выбирают так, чтобы кинетический член был положительным.

2. Это означает, что гильбертово/метрический тензор SEM определяется как

   $$T^{\mu\nu}~:=~\pm \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~:=~\mp \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},\tag{M}$$ для соглашения о знаках Минковского (M)$(\mp,\pm,\pm,\pm)$, соответственно.

   Для евклидова (E) соглашения о знаках$(+,+,+,+)$, это

   $$T^{\mu\nu}~:=~ -\frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~:=~ \frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}.\tag{E}$$

Прямой ответ на ваш вопрос — нет, значения компонент тензора энергии напряжений не меняются в соответствии с метрической сигнатурой. Qmechanich показал вам, как формулы меняются в зависимости от сигнатуры метрики только для того, чтобы сохранить значения компонентов одинаковыми.