Вариация символов Кристоффеля относительно gμνgμνg^{\mu\nu}

Я пытаюсь найти уравнения поля для какого-то конкретного лагранжиана. В середине я столкнулся с термином

$$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}} \, .$$

я знаю это

$$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} = \frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}(\nabla_{\beta}(\delta g_{\sigma\gamma}) + \nabla_{\gamma}(\delta g_{\sigma\beta}) - \nabla_{\sigma}(\delta g_{\beta\gamma})) \, .$$

У меня есть два вопроса:

1. Является выражением для$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$как-то связано с$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}}$?

2. Идея в конце состоит в том, чтобы иметь такие термины, как

   $$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{\alpha\beta}} = 0$$ и тем самым сделать вариацию действия инвариантной относительно$\delta g^{\alpha\beta}$. Итак, простыми словами, есть ли способ получить термин$\delta g^{\alpha\beta}$поставить вариант символа Кристоффеля?