Уравнения метрического поля для действия Жордана-Бранса-Дикке

Question

Уравнения метрического поля для действия Жордана-Бранса-Дикке

Физика
метрический тензор
модифицированная гравитация
общая теория относительности
лагранжев формализм
вариационное исчисление

MicrosoftBruh

Учитывая действие Джордана-Бранса-Дикке:

С "=" \int д^{4} Икс \sqrt{- г} (ф р + \frac{ю}{ф} (\partial ф)^{2} + л_{м} (ψ)) .

$S=\int d^4x\sqrt{-g}\left(\phi R+\frac\omega\phi(\partial\phi)^2+\mathfrak{L_{m}}(\psi)\right).$

Я пытался получить уравнения метрического поля, варьируя метрику, и получил следующее:

- \frac{1}{2} г_{мю ν} р + р_{мю ν} + \frac{ю}{ф^{2}} [- \frac{1}{2} г_{мю ν} (\partial ф)^{2} + \partial_{мю} ф \partial_{ν} ф] - \frac{1}{2 ф} г_{мю ν} л_{м} (ψ) "=" 0

$-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+R_{\mu\nu}+\frac{\omega}{\phi^2}[-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2+\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi]-\frac{1}{2\phi}g_{\mu\nu}\mathfrak{L_{m}}(\psi)=0$

я менял условия $\sqrt{-g}$ , $R_{\mu\nu}$ , $g^{\mu\nu}$ и $\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi g^{\mu\nu}$ . Если нас интересуют только уравнения метрического поля, то так ли это? Если бы мне нужны были уравнения для гравитационного поля, нам пришлось бы варьировать метрику и поле. $\phi$ верно?

РЕДАКТИРОВАТЬ: по второму правилу Лейбница я считал:

- \nabla^{α} \nabla_{α} (г_{мю ν} ф дельта г^{мю ν}) "=" - г_{мю ν} \nabla^{α} \nabla_{α} (ф) дельта г^{мю ν} - г_{мю ν} \nabla^{α} (ф) \nabla_{α} (дельта г^{мю ν}) - г_{мю ν} \nabla_{α} (ф) \nabla^{α} (дельта г^{мю ν}) - г_{мю ν} ф \nabla^{α} \nabla_{α} (дельта г^{мю ν})

$-\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) = -g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) \delta g^{\mu\nu}-g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha} (\phi)\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha} (\phi)\nabla^{\alpha}( \delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu} \phi \nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})$

Я вытащил метрику, поэтому мне не нужно иметь дело с 6 терминами. Те, которые нам нужны, являются только первым и вторым в правой части этого уравнения.

Никто

Что случилось с термином /phi R??

MicrosoftBruh

Я разделил все уравнение на

ϕ

$\phi$ и это будет первый термин, который появится

Никто

Это неправильно. Приходится интегрировать по частям.

Никто

Вы уже применили первую ковариантную производную. Вы должны сделать это еще раз с другой ковариантной производной.

MicrosoftBruh

Что ты имеешь в виду? Я уже применил оба. Что я путаю где?

Никто

Вы применили их оба одновременно.

MicrosoftBruh

Я обратился

\nabla_{α}

$\nabla_{\alpha}$ первым

g_{μ ν} ϕ δ g^{μ ν}

$g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ а потом

\nabla^{α}

$\nabla^{\alpha}$ на 2 члена, которые мы получаем из первой ковариантной производной, поскольку один из них является ковариантной производной метрического тензора, что дает мне 4 члена.

Никто

Проверьте мой ответ здесь, может помочь: physics.stackexchange.com/questions/128501/…

Ответы (1)

Уравнения метрического поля для действия Жордана-Бранса-Дикке

Я разделил все уравнение на $\phi$ и это будет первый термин, который появится
Это неправильно. Приходится интегрировать по частям.
Вы уже применили первую ковариантную производную. Вы должны сделать это еще раз с другой ковариантной производной.
Что ты имеешь в виду? Я уже применил оба. Что я путаю где?
Вы применили их оба одновременно.
Я обратился $\nabla_{\alpha}$ первым $g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ а потом $\nabla^{\alpha}$ на 2 члена, которые мы получаем из первой ковариантной производной, поскольку один из них является ковариантной производной метрического тензора, что дает мне 4 члена.
Проверьте мой ответ здесь, может помочь: physics.stackexchange.com/questions/128501/…

Никто · Answer 1

The $\delta(\phi R)$ срок будет:

дельта (ф р) "=" дельта (ф г^{мю ν} р_{мю ν}) "=" ф дельта г^{мю ν} р_{мю ν} + ф дельта р_{мю ν} г^{мю ν}

$\delta(\phi R) = \delta(\phi g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}) = \phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} +\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$

Термин: $\phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ готово, здесь вариация обратного метрического тензора уже является множителем. Теперь второй термин:

ф дельта р_{мю ν} г^{мю ν} "=" ф (г_{мю ν} ◻ - \nabla_{мю} \nabla_{ν}) дельта г^{мю ν}

$\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = \phi (g_{\mu\nu}\Box - \nabla_{\mu}\nabla_{\nu})\delta g^{\mu\nu}$

где я использовал личность Палатини. Теперь у нас есть, например, для термина коробки:

ф г_{мю ν} ◻ дельта г^{мю ν} "=" ф г_{мю ν} \nabla^{α} \nabla_{α} дельта г^{мю ν} "=" \nabla^{α} (ф г_{мю ν} \nabla_{α} дельта г^{мю ν}) - \nabla^{α} ф г_{мю ν} \nabla_{α} дельта г^{мю ν}

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = \phi g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} =\nabla^{\alpha}(\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}) -\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}$

Первый член представляет собой полную производную. Мы будем игнорировать его как граничный член. Теперь снова воспользуемся правилом Лейбница:

- \nabla^{α} ф г_{мю ν} \nabla_{α} дельта г^{мю ν} "=" - \nabla^{α} \nabla_{α} (г_{мю ν} ф дельта г^{мю ν}) + г_{мю ν} дельта г^{мю ν} \nabla^{α} \nabla_{α} (ф)

$-\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} = -\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) + g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi)$

где я использовал метрическую совместимость. Итак, у нас есть:

ф г_{мю ν} ◻ дельта г^{мю ν} "=" г_{мю ν} дельта г^{мю ν} \nabla^{α} \nabla_{α} (ф) "=" г_{мю ν} дельта г^{мю ν} ◻ ф

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Box \phi$ Ту же процедуру нужно проделать для двух ковариантных производных. Остальные термины кажутся правильными.

Проблема здесь в том, что скаляр Риччи связан с $\phi$ . Когда я впервые столкнулся с такими условиями связи, у меня была та же проблема. В контексте общей теории относительности действие равно:

С "=" \int д^{4} Икс \sqrt{- г} р .

$S = \int d^4x \sqrt{-g}R.$

Вариация приводит к термину $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ . Мы можем показать, что этот член является полным производным членом, и сократить его. В контексте Бранса Дикке (или других геометрических модификаций гравитации Эйнштейна, $f(R)$ например, Хорндески или поля материи, не минимально связанные с гравитацией) этот термин больше не является полной дивергенцией. Здесь этот термин: $\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ . $\phi$ усложняет ситуацию, мы не можем теперь отбросить этот термин как таковой, это не тотальный производный термин. Таким образом, мы следуем процедуре, которую я описал выше.

Что касается второй части вопроса, да, вы должны варьироваться и в отношении $\phi$ . Здесь $\phi$ это не поле материи, это геометрическая величина.

Спасибо! Во всех вариантах действия, которые я сделал до сих пор, R не было связано с каким-либо другим полем, поэтому я просто делаю это быстро, заявляя о тождестве Палатини и теореме Гаусса и говорю, что оно равно нулю.
Я понимаю вашу ситуацию на 100%. Был там, сделал то же самое.
Только одно, разве нет $g_{\mu\nu}$ отсутствует в 4-м уравнении, которое вы написали на 1-м члене RHS?
Конечно!! Спасибо, что указали на это!
Извините, не могли бы вы уточнить, как вы выполнили второе правило Лейбница? Я получаю 4 термина, когда распределяю две ковариантные производные для этого термина: $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ Учитывая совместимость метрик, я взял метрику напрямую и получил остальные 4 термина, 2 из них компенсируют друг друга?
$\nabla_{\alpha}$ действует на вариацию. Я передвинул эту производную перед всеми членами и вычел $g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\Box \phi$ (правило Лейбница).
Чтобы продолжить, вам нужно убрать полный производный член в первом правиле Лейбница.
Да, я сделал это. Для вашего первого правила Лейбница я рассматривал термин $\nabla^{\alpha}( \phi g_{\mu\nu} \nabla_{\alpha} (\delta g^{\mu\nu}))$ и распространил $\nabla^{\alpha}$ на трех членах, и один из них исчез из-за метрической совместимости, и перестановка этого уравнения привела меня к вашему первому правилу Лейбница. Я проигнорировал термин, который имеет полную производную. Я попробовал ту же процедуру, используя $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha} (g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ но есть дополнительные термины
Как?? Пожалуйста, напишите эти условия.
Может ли кто-нибудь явно сделать изменение в отношении $\phi$ ?
Почему бы вам не задать вопрос по теме, чтобы кто-то мог вам помочь?

Уравнения метрического поля для действия Жордана-Бранса-Дикке

MicrosoftBruh

Никто

MicrosoftBruh

Никто

Никто

MicrosoftBruh

Никто

MicrosoftBruh

Никто

Ответы (1)

Никто

MicrosoftBruh

Никто

MicrosoftBruh

Никто

MicrosoftBruh

Никто

Никто

MicrosoftBruh

Никто

MicrosoftBruh

fasdgr

Никто

Вариация символов Кристоффеля относительно gμνgμνg^{\mu\nu}

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Изменение действия Дирака дифференциальными формами

Изменение действия Эйнштейна-Гильберта без привязки к диаграмме

Вывод условий израильского перекрестка

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная

Правильный вывод уравнений Эйнштейна из действия Гильберта

Можно ли записать гильбертово действие как произведение двух одинаковых тензоров?