Почему классическая физика предполагает, что каждая мода вибрации должна иметь одинаковую тепловую энергию?

Это классическое предсказание исходит из теоремы о равнораспределении статистической механики, хотя у меня есть некоторые сомнения в том, как именно сформулировано утверждение, которое вы цитируете.

Теорема о равнораспределении предназначена для описания того, как энергия распределяется в системе со многими степенями свободы. Например, рассмотрим одноатомный идеальный газ, такой как гелий, который вы нагрели до некоторой температуры.$T$(в абсолютных единицах ). Если вы увеличите энергию, хранящуюся в газе — может быть, вы сожмете газ, совершая над ним работу — — единственная степень свободы, доступная для хранения этой энергии, — это изменение скорости частиц газа. Энергия каждого атома газа$\frac12 m v^2 = \frac12 m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$, где$v_i$компоненты скорости в некоторой системе координат. Но если контейнер симметричен, то не должно быть никаких оснований, скажем, для$x$- компоненты скоростей газа имеют систематически большую энергию, чем$y$-компоненты: энергия должна быть разделена поровну между всеми тремя компонентами.

Теорема о равнораспределении предсказывает, среди прочего, что все одноатомные идеальные газы должны иметь одинаковую молярную теплоемкость.$C_V = \frac32R = 12\,\frac{\rm joule}{\rm mole\ kelvin}$, так как каждый атом газа имеет (в среднем) кинетическую энергию$\frac12 kT$в каждом из трех возможных направлений движения. Кроме того, поскольку скорости газа подчиняются$\frac12 mv^2 = \frac32 kT$, то можно делать прогнозы скорости звука в разных газах при разных температурах.

Теорема о равнораспределении касается не только скоростей, но и всевозможных степеней свободы. Например, если у вас есть двухатомный газ, такой как окись углерода, есть еще один ^способ , которым молекулы газа могут накапливать энергию: вращение. Каждая молекула имеет две возможные оси вращения, перпендикулярные связи между двумя атомами. Равнораспределение предсказывает, что каждая из этих двух дополнительных степеней свободы также должна хранить среднюю кинетическую энергию .$\frac12 kT$. Таким образом , двухатомные идеальные газы должны иметь молярную теплоемкость.$5R/2$. Что они и делают --- за исключением очень низких температур, когда теплоемкость падает до одноатомного значения$3R/2$. Такое поведение также было загадкой в ​​начале двадцатого века.

В случае излучения абсолютно черного тела рассматриваемыми осцилляторами являются не электроны, а стоячие волны в электромагнитном поле . (Могут быть задействованы электроны, но электромагнитное поле может колебаться, даже если все заряды во Вселенной находятся далеко.) Если вы рассматриваете электромагнитное поле внутри металлического ящика, где величина поля всегда должна быть равна нулю в стенки ящика, то вы можете считать эти моды так же, как мы считали поступательные и вращательные моды для идеальных газов. Есть режим, когда в коробку помещается полволны, значит есть узлына стенках полости; режим, при котором в коробку помещается одна волна; узел, где в ящике уместились полторы волны; и так до бесконечности. И согласно классическому равнораспределению каждая из этих бесконечно возможных колебательных мод должна содержать в среднем энергию$\frac12 kT$.

Вы можете попробовать эти электромагнитные осцилляторы, построив такой резонатор, нагрев его и открыв маленькое отверстие, чтобы посмотреть на выходящее излучение (при условии, что маленькое отверстие не сильно меняет то, что происходит внутри резонатора). Ваш глаз интерпретирует разные длины волн/частоты электромагнитного излучения как разные цвета. И вы обнаружите, что для длинных длин волн/медленных частот равнораспределение дает довольно хорошее предсказание спектра света, излучаемого горячей полостью. Проблема, как кратко указано в вашем тексте, заключается в том, что равнораспределение континуума не имеет никакого механизма для исключения коротковолновых/быстрочастотных колебаний и, следовательно, предсказывает, что пустое пространство должно иметь бесконечноетеплоемкость. Предсказания об идеальном газе были… менее ошибочными, чем это. В литературе это неверное предсказание называют «ультрафиолетовой катастрофой».

Предложение Планка заключалось в том, что минимальная энергия, которую вы можете добавить к осциллятору с угловой частотой$\omega$является$E = \hbar \omega$. Учитывая это предположение, классическая термодинамика предсказывает, что вероятность нахождения осциллятора с$n$сгустков энергии пропорциональна$e^{-n\hbar\omega/kT}$. Если температура высокая или частота низкая, все эти вероятности пропорциональны$e^{-\text{small}} \approx 1$, и нет никаких реальных ограничений на добавление или удаление энергии из этой степени свободы, и теорема о равнораспределении верна. Но если частота быстрая или температура холодная, то вероятность найти свой осциллятор с одним сгустком энергии гораздо меньше, чем с нулем, и можно сказать, что степень свободы «выморожена».

Обратите внимание, что, насколько нам известно, предположение Планка применимо ко всем генераторам, а не только к электромагнитному полю в горячем резонаторе. Например, причина того, что холодный двухатомный газ имеет ту же молярную теплоемкость, что и одноатомный газ (т.$\frac52\to\frac32$дело от предыдущего) заключается в том, что вращательная степень свободы замораживается.

¹ « дополнительный способ, которым молекулы газа могут накапливать энергию»: для простоты я игнорирую колебательные степени свободы газа в этом ответе, который номинально касается излучения черного тела. Как правило, вибрация замирает при более высокой температуре, чем вращение, и для многих двухатомных газов колебательные моды не полностью доступны до того, как диссоциация станет значительной. В примере с окисью углерода теплоемкость равна$\frac52R \pm 1\%$от температуры намного ниже комнатной до примерно 400 К; температура вибрации около$\hbar\omega/k = 3000\rm\,K$, примерно в два раза выше температуры диссоциации.

В классической статистической физике существует так называемая теорема о равнораспределении , утверждающая, что при некоторых условиях все степени свободы имеют одинаковую среднюю энергию при фиксированной температуре. Степени свободы электромагнитного поля удовлетворяют этим условиям, и таких степеней свободы бесконечное множество (частоты могут быть сколь угодно высокими). Это источник ультрафиолетовой катастрофы . Я не уверен в колебаниях электронов. Я бы подумал, что электроны в классической физике имеют конечное число степеней свободы.