Что такое распределение тепловой энергии?

я просто помню

$$\frac{1}{\exp(\beta (E-\mu)) \pm 1}$$ Вы можете определить знак из того факта, что распределения Бозе-Эйнштейна могут расходиться (поэтому они идут со знаком -), тогда как Ферми-Дирака ограничены (поэтому они идут со знаком +). Максвелл-Больцман применим к классическим системам, так что квантовая статистика не имеет значения, поэтому примите предел, что два распределения одинаковы (поэтому отбросьте $\pm1$).

Эти выражения представляют собой среднее число частиц, находящихся в состоянии с энергией$E$. Химический потенциал$\mu$это просто ручка, которая позволяет вам регулировать общую плотность. Вы также можете думать об этом как (примерно) об энергии, необходимой для добавления частицы в систему. Чтобы найти общее количество частиц в системе, вы должны просуммировать его по всем энергетическим уровням. Вы можете использовать эту информацию, чтобы найти все виды тепловых средних значений. Например:

$$\text{total energy} = \sum_{\text{all energies}} \left(\text{distribution function}\times\text{number of states with a given energy}\right)$$

По сути, это то, что происходит в законе Планка, только сумма опущена. Закон Планка – это распределение Бозе-Эйнштейна (с$\mu=0$потому что фотоны могут свободно создаваться и уничтожаться), умноженное на число состояний с энергией в небольшом диапазоне около$E$. Это говорит вам, сколько энергии содержится в фотонах с энергиями в этом диапазоне.

Вывод распределения тепловой энергии в значительной степени является просто приближением Стирлинга.$\ln(x!)=x\ln(x)-x$, метод множителей Лагранжа и множество перестановок/комбинаций. Вы можете увидеть это внизу.

Распределения тепловой энергии содержат классические модели, такие как статистика Максвелла-Больцмана, и квантово-физические модели, такие как статистика Бозе-Эйнштейна и статистика Ферми-Дирака.

Этот "classical"термин означает такие модели, как уравнения Максвелла, модели с частными производными, которые не содержат понятия о дискретизации — большое отличие от моделей КМ, таких как правило Планка.$E=hf$где энергия ЭМ определяется количественно .

Свет является примером электромагнитного излучения. Максвелл понял это, проанализировав здесь более ранние исследования Вебера и Кольрауша , и пришел к выводу$c_0=\frac 1 {\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$. Более реалистичной моделью света здесь является неклассическая модель , которую нельзя описать с помощью классического механизма, но с помощью количественного определения электромагнитного поля и квантовой механики. Фотон — это бозон, поэтому он подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, а не классическому приближению, то есть статистике Максвелла-Больцмана, которая реалистична только при экстремальных температурах, таких как близкие к абсолютному нулю или очень высокие температуры.

Такие факты, как фотоэффект, рентгеновское излучение (противоположное фотоэффекту) и комптоновское рассеяние, доказывают дискретность ЭМ, которую описывает КМ. Дуализм волна-частица объясняет события, когда свет ведет себя как волна и как частица. Это невозможно объяснить с помощью уравнений Максвелла. Примерами таких событий являются эксперименты с двумя щелями и эксперименты с одной щелью.

Теперь эксперимент с двумя щелями привел к осознанию неопределенности. Вы не можете видеть природу волны одновременно с природой частицы. Примером этого является принцип неопределенности Гейзенберга.$\Delta p\Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$это означает, что вы не можете знать местоположение физического объекта и его импульс в одно и то же время — если$\Delta p$близок к нулю, у вас есть частица — и если$\Delta p$близко к нулю, у вас есть волна. Бор обобщил эту концепцию дополнительных событий из простых волн и частиц в своей дополнительности здесь , где он понял

«Невозможно сконструировать измерительный прибор, демонстрирующий оба явления одновременно, не из-за недостатка творчества со стороны экспериментатора, а просто потому, что такой прибор буквально немыслим». (Предложение в Википедии о дополнительности)

что на самом деле весьма наводящее на размышления заявление. Я, например, так понимаю, что у вас не может быть камеры, минимизирующей все виды шумов. Модели QM выводят новый тип шумов, таких как квантовый шум, также известный как дробовой шум, который в определенных ситуациях доминирует над шумами с низким отношением сигнал-шум.

Мои документы лекций здесь в конце сбивают с толку в этом пункте. Упоминается "You cannot force wave nature into particle nature without losing interference."после упоминания "You will lose interference pattern on the left if you try to find out from which hole the photon went by filling the other hole one-by-one"(не дословный перевод), но смысл должен быть тот же.

Теперь вернемся к статистике'why are the statistics called "thermal" or "energy"?'

Модели КМ, такие как Бозе-Эйнштейн и Ферми-Дирак, описывают бозоны и фермионы соответственно. Классические модели (неоднозначный термин, но теперь означающий уравнения Максвелла) в некотором роде являются уравнениями энергии: вам нужна энергия, чтобы увидеть их работу. Термическое предварительное добавление немного странно, но, возможно, оно хочет подчеркнуть связь энергии и температуры. Это слово "distribution"подчеркивает статистическую коннотацию.

Я надеюсь, что кто-то более опытный может объяснить, что "thermal energy distributions"такое на самом деле! Я чувствую, что мое объяснение не является исчерпывающим.

Математический формализм

Бозе-Эйнштейн

У нас есть частицы с состояниями$N_i$и стены$M$где частицы могут иметь одно и то же квантовое состояние, большая разница с фермионами, где$(n,s,l,m_l)$не может быть одинаковым. Таким образом, горизонтальное выравнивание

$$W_h^i=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

где общее выравнивание является произведением всех горизонтальных выравниваний, поэтому функция вероятности$P=\Pi_i w_h^i=\Pi_i\frac{(N_i+M_i-1)!}{N_i!(M_i-1)!}$так

$$\ln(P)=\sum_i \ln\left[(N_i+M-1)!-\ln(N_i!)-\ln((M-1)!)\right]$$

Теперь мы используем метод множителя Лагранжа, поэтому F-функция

$$F=\ln(P)+\alpha (N-\sum_i n_i) + \beta (MU-\sum_i n_i u_i)$$

где первый$\alpha$ограничение означает, что количество частиц равно сумме всех частиц в состояниях$N=\sum_i n_i$и второй$\beta$условие означает, что энергия системы является суммой всех энергий в состояниях.

Теперь мы производим это по переменной состояния$n_i$где нам нужно использовать приближение Стирлинга$\ln(x!)\approx x\ln(x)-x$из-за большого количества частиц (небольшое количество частиц требует здесь дополнительного термина ). Так

$$\ln(M)-\ln(N_i)-\alpha-\beta E_i=0$$

$$N_i=Me^{-\alpha-\beta E_i}$$

Ферми-Дирак

Принцип исключения Паули является ключевым отличием. В остальном это та же дедукция, что и у Бозе-Эйнштейна, но$W_h^i=\frac{M!}{N!(M-N_i)!}$где$N!$это для "михитеттых" пилотируемых штатов и$(M-N_i)!$для беспилотных состояний из-за принципа исключения Паули - у вас не может быть двух одинаковых Q-состояний с фермионами!

Максвелл Больцман

Я использую сейчас лекции 2061 здесь страницы 63-65. Я не уверен в этом, потому что два учителя используют немного разные обозначения, но я понимаю это так.

$$W_h^i =\frac{g_i^{n_i}}{n_i!}$$

где$g_i$дегенеративность,$n_i$это количество состояний, поэтому вероятность$P_{MB}=\Pi_i W_h^i.$И мы получим статистику, но логарифмируя и используя множители Лагранжа. Наши условия$N=\sum_i n_i$и$E=\sum_i n_i E_i$.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Большинство состояний соответствует Максвеллу-Больцману, затем Бозе-Эйнштейну и наименьшее количество состояний соответствует Ферми-Дираку из-за принципа исключения Уоллса и Паули. Пожалуйста, обратите внимание, что у Максвелла-Больцмана нет «стен», где такие системы, как частицы идеального газа, могут занимать одно и то же квантовое состояние, что, возможно, связано с явлением сверхтекучести. Горизонтальные формулы заполнения для Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана:

$$W_h^i(BE)=\frac{(N_i+M-1)!}{N_i!(M-1)!}$$

$$W_h^i(FD)=\frac{M!}{N_i!(M-N_i)!}$$

$$W_h^i(MB) =\frac{G_i^{N_i}}{N_i!}$$

Учебные вопросы

1. Имеют ли фермионы и бозоны вырождение, подобное системе Максвелла-Больцмана?

2. Другими словами, почему нет$G_i$с формулами BE и FD?

Существует интересный взгляд на то, как связать распределения статистической физики и задачу о размещении шаров на ящиках.

Вот ссылка: http://tominology.blogspot.com.br/2014/11/counting-problems-and-statistical.html

В принципе, вы можете думать, что:

1. Максвелл-Больцман: располагайте различимые частицы внутри ячеек, где ячейки могут содержать несколько частиц.
2. Бозе-Эйнштейн: располагайте неразличимые частицы внутри ячеек, где ячейки могут содержать несколько частиц.
3. Ферми-Дирака: расположить неразличимые частицы внутри ячеек, где каждая ячейка может содержать только одну частицу.