Применяются ли лагранжевы точки к эксцентрическим орбитам или бинарным системам?

1. орбита планеты эксцентрична, а не является идеальным кругом

Очевидно, @DavidHammen знает о таких вещах достаточно, чтобы быть опасными . Я не могу говорить на эту тему математически, но на рисунке маленькая голубая сигара — это Земля, колеблющаяся к Солнцу и от него, когда оно движется по своей слегка эллиптической орбите, и круто выглядящая орбита в данном случае — это SOHO, который на гало-орбите более 20 лет, добросовестно выполняя маневры своей станции по направлению к Солнцу или от него, за исключением тех случаев, когда он этого не делал (см. ссылку Roberts 2002).

Почти прямолинейная гало-орбита предлагаемых будущих звездных врат , э-э- э..., червоточина , э-э-э... врата будет (почти прямолинейной) гало-орбитой ( 1 , 2 и ответы в ней) вокруг Земли-Луны L1 и/ или L2 , и его эксцентриситет намного больше, чем у гелиоцентрической орбиты Земли ($\epsilon$= 0,055 против 0,017).

Я всегда путаю свою научную фантастику. (Космические силы!, Ракетные гонки! и т. д.)

Кроме того, радиосвязь Chang'e-4 со спутником- ретранслятором Земли Queqiao будет L2 Земля-Луна.

Так что для значительно эллиптических систем да. Для очень значительно эллиптических систем по поводу ER3BP должен будет ответить кто-то другой, и конечно, кто-то уже спрашивал Есть ли естественные круговые орбиты? начать с.

2. Два массивных тела сравнимой массы вращаются вокруг общего центра масс (хотя оба находятся на круговых орбитах). В частности, как они будут трансформироваться/двигаться?

В этом ответе я покажу, как рассчитать положение L1 и L2 для двух масс. Я попытаюсь построить график движения двух точек по мере изменения отношения двух масс, это займет полдня, нужно получить стабильные 10-20 , прежде чем смотреть на стабильные точки.

Гифка: Орбита SOHO, данные Horizons , сюжет отсюда

внизу слева: вид сверху вниз, одиннадцать лет. справа: вид сбоку, один год. (Солнце слева) Орбита прототипа телескопа Джеймса Уэбба, данные Horizons , график отсюда

$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\i}{\mathbf{i}}$

Набор решений Лагранжа для задачи трех тел является более общим, чем просто точки, которые являются частными случаями более широкого семейства возможностей. Условия, в которых они существуют, очень ограничительны, но в меньшей степени, чем стандартные предположения, которые вы перечисляете. Здесь все для полной задачи трех тел (в которой все три массы не пренебрежимо малы), а не для ограниченной задачи трех тел (в которой одна масса считается достаточно малой, чтобы оказывать незначительное влияние на движение двух больших) . Эти решения включают форму произвольного эллиптического движения, которое я попытаюсь описать. Текст, которым я следую, — это « Введение в математику и методы астродинамики » Ричарда Баттина , глава 8. Одной из возможных бесплатных альтернатив покупке книги является использованиеэти конспекты лекций из MIT Open Course Ware, которые сам Баттин использовал для обучения из своей собственной книги, но они предлагают гораздо меньше слов объяснения между уравнениями и останавливаются, не достигнув окончательной эллиптической формы, на которую я буду ссылаться.

Решения Лагранжа точны только в том случае, если в одной плоскости находятся три тела, вращающиеся вокруг общего центра масс. Любые три тела всегда мгновенно оказываются на одной и той же плоскости, независимо от того, что еще происходит, но все эти решения требуют, чтобы все три тела, представляющие интерес, все время оставались на одной и той же плоскости. Они являются «точками» только с точки зрения системы координат, вращающейся с одним конкретным значением постоянной угловой скорости ($\omega$) вокруг центра масс трех тел. Три тела должны быть расположены либо по всей линии (что дает L1, L2 и L3), либо по углам равностороннего треугольника (что дает L4 и L5). Есть много других странных и интересных вещей, которые могут происходить в системах с несколькими телами, но это единственные вещи, которые можно точно описать в такой относительно простой форме.

В треугольных решениях треугольник должен быть точно равносторонним, поэтому тела всегда должны быть равноудалены друг от друга, но три массы могут иметь любые значения. Если три массы одинаковы, центр масс треугольника равноудален от трех равных масс, поэтому все три вращаются по одной и той же круговой орбите вокруг него, отстоящей на 120 градусов. Когда массы не равны, центр масс (барицентр) перемещается в точку, отличную от геометрического центра (центроида), поэтому расстояния от трех масс до центра масс больше не равны, а расстояния от трех масс друг другу должны оставаться равными. Положения тел относительно центра масс по определению$m_1 \r_1 + m_2 \r_2 + m_3 \r_3 = \mathbf{0}$; если векторы расположены так, что три стороны треугольника ($\r_1-\r_2$,$\r_2-\r_3$, и$\r_3-\r_1$) имеют одинаковую длину, то условия могут быть удовлетворены. Особые орбиты существуют, если скорости трех объектов также совпадают, так что сохраняется равносторонняя форма (подробнее об этом ниже). На особых орбитах самое тяжелое тело движется по наименьшему кругу (поскольку центр масс находится ближе всего к самому тяжелому), а самое легкое движется по наибольшему кругу, но все три круговые орбиты имеют одинаковую угловую скорость. Это противоречит нашему обычному опыту, согласно которому чем дальше находится тело, тем меньше его угловая скорость; но это ожидание, полученное из третьего закона Кеплера ($\omega^2 = GM/r^3$), а «законы» Кеплера применимы только в системе с двумя телами. Исправленная версия, которая применима точно в случае трехчастного равностороннего треугольника (прямолинейная версия намного более беспорядочна), выглядит следующим образом:$\omega^2 = G(m_1 + m_2 + m_3)/r^3$, куда$r$это расстояние от трех масс друг к другу .

Когда все три массы находятся на одной линии, уравнения, описывающие разрешенные условия, усложняются. Поскольку центр масс также должен лежать на отрезке, соединяющем три массы, две из масс будут находиться по одну сторону от него, вращаясь точно в фазе друг с другом, а третья вращается точно на 180 градусов в противофазе с другой. два (в вырожденном случае, если соотношения масс расположены правильно, среднее тело может быть расположено в центре масс, и в этом случае его «орбита» имеет нулевой радиус, а два других точно сбалансированы, чтобы вращаться вокруг него) . Опять же, каждая орбита представляет собой идеальный круг, если рассматривать его относительно центра масс, но если вы попытаетесь изобразить их как пути друг вокруг друга, они больше не будут кругами. Нумеруя тела в некотором порядке,$\i$от центра масс вдоль линии, как$\r_1=r\i$,$\r_2=(r+\xi)\i$, и$\r_3=(r+\xi+\xi\chi)\i$, и попытаться решить для$\xi$и$\chi$с точки зрения масс и$r$чтобы узнать, где на линии должна быть размещена тройка. Некоторая алгебраическая обработка приводит к уравнению для допустимых значений$\chi$, который

$$(m_1 + m_2)\chi^5 + (3m_1 + 2m_2)\chi^4 + (3m_1 + m_2)\chi^3 - (m_2 + 3m_3)\chi^2 - (2m_2 + 3m_3)\chi - (m_2 + m_3) = 0$$ Это и соответствующие уравнения для$\xi$и$\omega$, являются источником «забавных констант», найденных в формулах для L1, L2 и L3. Комментарий Баттина: «Условное уравнение имеет один и только один положительный корень, как видно из того факта, что коэффициенты меняют знак только один раз. Однако существует в общей сложности три различных решения прямой линии, поскольку еще два могут быть получены циклической перестановкой. порядка масс».

Есть способ вернуть многоточие в это, если мы рассмотрим максимизацию общности того, что было до сих пор. Как в треугольном, так и в линейном случаях допустимая форма позиций, приводящая к точным решениям, жестко ограничена отношениями расстояний, но есть также общий коэффициент масштабирования , с которым мы еще не играли. То есть для любых трех масс, положение которых$\r_1$,$\r_2$, и$\r_3$удовлетворяют одному из случаев, описанных до сих пор, для произвольного масштабного коэффициента$\rho$, позиции$\rho\r_1$,$\rho\r_2$, и$\rho\r_3$также удовлетворяют тому же случаю, хотя скорость вращения$\omega$должно уменьшаться по мере$\rho$увеличивается. Это даже работает динамически, когда коэффициент масштабирования меняется со временем при определенных условиях. В частности, если мы теперь рассмотрим систему координат, вращающуюся с переменной угловой скоростью$\omega=d\theta/dt$, условия согласованности на$\rho(t)$и$\theta(t)$оказываются идентичными стандартному кеплеровскому решению для двух тел! Три орбиты трех масс вокруг их общего центра масс могут иметь любой эксцентриситет, который вам нравится, при условии, что все три орбиты имеют один и тот же эксцентриситет и сфазированы так, что равносторонний треугольник или коллинеарная установка растут и сжимаются вместе по мере их вращения. вместе, через знакомых

$$\frac{d}{dt} \left( \rho^2 \frac{d\theta}{dt} \right) = 0 \,\,\, \mathrm{and}\,\,\, \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = -\frac{\mu}{\rho^2}$$ Для более чем трех тел все эти уравнения уже неверны; но если массы всего остального очень малы по сравнению с большой тройкой, то они останутся приблизительно правильными, по крайней мере, для самой большой тройки. По сути, это то же самое утверждение, что законы Кеплера, которые в точности верны только в случае всего двух точечных масс, останутся приблизительно правильными при добавлении множества небольших поправочных членов. Я не знаю ни одной реальной трехзвездной системы, которая имела бы хоть что-то близкое к структуре, необходимой для трехчастичных точных лангранжевых решений, чтобы хоть как-то их описать, но если вы хотите написать научно-фантастический рассказ о трех Лагранже... орбиты тела, было бы забавно расположить три звезды и позволить вещам с относительно незначительной массой двигаться в их гравитационном поле.