Почему мы не видим ковариантную производную в классической механике?

Мне интересно, почему я впервые увидел ковариантную производную в общей теории относительности .

Начиная с того, что ковариантная производная обобщает понятие производной в искривленном пространстве (даже если подумать, что лучше рассматривать ее как расширение такой производной, что она ковариантна при замене координат). Для этого введем символы Кристоффеля Г Дж к я .

В искривленном пространстве-времени у нас есть глобально неисчезающие символы Кристоффеля Г Дж к я ≠ 0 , а вообще Г Дж к я ≠ 0 не означает, что мы находимся в искривленном пространстве-времени. Например, если я рассматриваю пространство-время Минковского с декартовыми координатами, то, благодаря преобразованию Лоренца, если гаммы равны нулю в системе отсчета, они равны нулю в каждой системе отсчета, но я мог бы иметь Г Дж к я ≠ 0 даже в плоском пространстве-времени с полярными координатами, поскольку в этом случае Гаммы не преобразуются как тензор из-за нетензорной части закона преобразования для Г Дж к я при смене базы.

Если то, что я сказал ранее, верно (большое если), то я бы интерпретировал это в классической механике, говоря, что в декартовых координатах базисные векторы { е ^ Икс , е ^ у }, сплошные до точки кривой, постоянны, если точка перемещается вдоль кривой.

Хотя я думаю, что не могу сказать то же самое о { е ^ р , е ^ θ }, так как при движении точки по кривой в этом случае касательные векторы к координатным линиям не являются постоянными (они вращаются при движении точки). Вот почему я думаю, что должен видеть символы Кристоффеля даже в классической механике, чтобы отразить свойство векторов { е ^ р , е ^ θ }, которые меняются вдоль кривой.

Ответы (3)

Вы не так часто видите ковариантную производную, потому что плоское пространство имеет изометрии, которые делают декартовы координаты лучше, и в этих координатах нет символов Кристоффеля, поэтому мы используем их как можно чаще. Но посмотрите на формулу дивергенции функции Ф "=" Ф р ^ р ^ + Ф θ ^ θ ^ в полярных координатах:

∇ ⋅ Ф "=" 1 р ∂ ( р Ф р ^ ) ∂ р + 1 р ∂ Ф θ ^ ∂ θ "=" ∂ Ф р ^ ∂ р + 1 р Ф р ^ + 1 р ∂ Ф θ ^ ∂ θ .

Что 1 / р в среднем термине без производных происходит от символов Кристоффеля! Таким образом, ковариантная производная определенно существует, но вместо использования символов Кристоффеля мы обычно вычисляем ее, используя цепное правило и тот факт, что декартовы базисные векторы имеют нулевую производную. Производные базисного вектора в конце концов являются символами Кристоффеля, поэтому метод не так уж отличается.

И последнее замечание: ортонормированные базисные векторы { р ^ , θ ^ } в полярных координатах не являются базисными векторами { ∂ / ∂ р , ∂ / ∂ θ } мы знаем из дифференциальной геометрии, потому что последние не ортонормированы. Отношение простое:

р ^ "=" ∂ ∂ р θ ^ "=" 1 р ∂ ∂ θ ,

поэтому имейте это в виду при применении формул. В дифференциальной геометрии мы склонны записывать компоненты векторов относительно производного базиса, но формулы, которые мы знаем из более простого исчисления (например, моя формула дивергенции), записываются в терминах ортонормированного базиса.

так что я новый ответ с первого курса физики! это то, что заставляет меня думать ахаха. На практике я могу сказать, что Гаммы в классической механике — это просто термины, заданные изменением базисных векторов. Большое спасибо за ответ
@Frappa Да, но обратите внимание, что в случае общей теории относительности связь представляет собой «реальное», нетривиальное физическое поле, которое нельзя преобразовать глобально. То же самое касается (других) калибровочных теорий.
@DoctorNuu Да, тот факт, что гаммы нельзя преобразовать глобально, ясен (я действительно не могу сказать, каково влияние на калибровочные теории). Немного отклонился от темы, если не ошибаюсь. Поскольку гамма исчезает только локально, это означает, что у нас не может быть глобального внутреннего наблюдателя в ОТО, и поэтому преобразование Лоренца получается просто как частный случай смены системы отсчета, в то время как в целом я должен рассматривать различные диффеоморфизмы. Это правильно? Извините, если я беспокою вас
Обобщается ли ваш анализ на n-меры в тета или есть несколько перекрестных терминов?
@cumfy не совсем уверен, что ты имеешь в виду. Общий анализ я не делал, но в целом слагаемых может быть больше или меньше, в зависимости от размеров, координат и того, что именно вы считаете.
Извините, это моя вина. Мне просто не ясно, является ли тета вектором или скаляром. Большое спасибо.
@cumfy θ является одной из координатных функций в «полярной системе координат». Каждая такая функция координат может использоваться для определения касательного вектора; т.е. задана координатная функция θ ( ⋅ ) , вы можете определить связанный касательный вектор ∂ ∂ θ в каждой точке. Такого рода обсуждения обычно очень тщательно рассматриваются в книгах по дифференциальной геометрии/многомерному исчислению.

Символ Крисоффеля — или связь с метрикой — или просто связь — это результат взятия производной векторного поля, что может привести к вращению результирующего векторного поля.

Чтобы определить, является ли многообразие внутренней или внешней кривизной, вам необходимо вычислить тензор кривизны Римана.

Например, для пространств Евклида и Минковского тензор кривизны Римана равен нулю, поскольку оба эти пространства являются внешне плоскими или просто плоскими пространствами.

Однако можно встроить внутренне искривленную поверхность в плоское пространство — в этом случае один или, возможно, несколько символов Крисоффеля могут не быть нулевыми — но тензор Римана все равно будет равен нулю.

Магия полуримановых многообразий заключается в уникальной связности Леви-Чивиты.

Еще один момент, который следует учитывать, заключается в том, что в гамильтоновой механике симплектическая структура не зависит от метрики. В регулярном невырожденном случае эту структуру можно стянуть к касательному расслоению и области лагранжевой формулировки.

Следовательно, вам не нужно начинать с ковариантной производной классической механики, вместо этого вы можете восстановить более общее абстрактное описание.

Почему мы не видим ковариантную производную в классической механике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v