Почему классический нётеровский заряд становится генератором квантовой симметрии?

Рассмотрим формализм квантового поля, где поля являются операторами. Например, рассмотрим для простоты заряженное скалярное поле с действием$S = \int d^4x \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi^*$, с полем:

$$\phi(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a(p)e^{-ip.x} + b^+(p)e^{ip.x} )\tag{1}$$

$$\phi^*(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(b(p)e^{-ip.x} + a^+(p)e^{ip.x} )\tag{2}$$

куда$a^+(p), a(p)$- операторы рождения/уничтожения частицы, и$b^+(p), b(p)$оператор рождения/уничтожения античастицы.

Если у нас есть бесконечно малое преобразование,$\delta \phi(x)$, оставив без изменений действие$S$, сохраняющийся ток равен$j^\mu(x) = [\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi)}~\delta \phi(x) + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}~\delta \phi^*(x)]$(пропуская бесконечно малые параметры), а сохраняющийся обобщенный заряд равен$Q =~:\int d^3x~ j^0(x): ~= ~:\int d^3x ~[\Pi(x)~ \delta\phi(x) +\Pi^*(x)~ \delta\phi^*(x)]:$- где$\Pi(x),\Pi^*(x)$являются сопряженными импульсами$\phi(x),\phi^*(x)$, и знак$:$для нормального упорядоченного продукта (операторы уничтожения справа).

Мы видим, конечно, что$Q$является оператором.

Пример: стандартный (электрический) заряд является сохраняющейся величиной, которая соответствует (глобальному) преобразованию$\phi(x) \rightarrow e^{-i\Lambda}\phi(x)$, здесь бесконечно малое преобразование$\delta \phi(x) = -i\epsilon ~\phi(x)~$, поэтому имеем:

$$Q = -i:\int ~ d^3x ~(\Pi(x) ~\phi(x) - \Pi^*(x) ~\phi^*(x) ): \tag{3}$$

Или, что то же самое:

$$Q = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a^+(p)a(p) - b^+(p)b(p) )\tag{4}$$

И у нас есть :

$$[Q,\phi(x)]=-\phi(x) \tag{5}$$ (Это можно проверить из фундаментальных коммутационных соотношений между операторами, таких как $[a(k),a^+(k')]=\delta^3(k-k')$)

Каноническое квантование по Дираку должно удовлетворять следующим аксиомам:

• Q1: карта$f \to \hat f$который назначает оператор каждой функции в фазовом пространстве, является линейным, и постоянные 1-функции отображаются на 1-оператор

• Q2: Скобка Пуассона отображается в коммутатор, украшенный$\hbar$

• Q3: Полная система функций в инволюции отображается в полную систему коммутативных операторов.

Это последнее условие, которое гарантирует, что$G$является симметрией с квантовой стороны (назначение$f \to \hat f$должно быть неприводимым представлением генераторов симметрии). Но теоремы No-Go Грюнвальда и Ван Хова показывают, что квантование для всех наблюдаемых с Q1-Q3 невозможно. Два главных решения: Ослабить Q2 и потребовать, чтобы он сохранялся только до первого порядка$\hbar$- это приводит к деформационному квантованию. С другой стороны, геометрическое квантование модифицирует Q3 в том смысле, что оно должно выполняться только для некоторой разумной подалгебры функций (например, содержащей импульс и т. д.).