Каково значение масштабного параметра КХД ΛΛ\Lambda?

Уважаемый dbrane,$\Lambda_{\rm QCD}$— единственный размерный параметр чистой КХД (чистая — значит без дополнительной материи).

Он размерный и заменяет безразмерный параметр$g_{\rm QCD}$, константа связи КХД. Процесс, в котором безразмерная константа, такая как$g$заменяется размерным, таким как$\Lambda$называется размерной трансмутацией:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_transmutation

Постоянная$g$не совсем постоянна, но зависит от характерного энергетического масштаба процессов - по существу, логарифмически. Морально говоря,

$$\frac{1}{g^2(E)} = \frac{1}{g^2(E_0)} + K \cdot \ln (E/E_0),$$ по крайней мере, в главном приближении. Потому что $g$зависит от масштаба, почти верно, что каждое значение $g$реализуется для некоторого значения шкалы энергии $E$. Вместо того, чтобы говорить о ценностях $g$для многих конкретных значений $E$, можно говорить о значении $E$куда $g$становится таким большим, как один или около того, и это значение $E$известен как $\Lambda_{\rm QCD}$хотя нужно быть немного более осторожным, чтобы определить его так, чтобы это было 150 МэВ, а не вдвое больше, например.

Да, это характерный масштаб конфайнмента и всех остальных типичных процессов чистой КХД - тех, которые не зависят от текущих масс кварков и т.д. В большинстве предложений о масштабе КХД, включая вашу цитату, подробная числовая константа не слишком важно, и предложения действительны как оценки по порядку величины. Однако при правильном определении точное значение$\Lambda_{\rm QCD}$можно определить экспериментально. Зная это и учитывая известный лагранжиан КХД и методы расчета его квантовых эффектов, можно восстановить полную функцию$g(E)$.

Работая с размерной регуляризацией, в схеме стержня MS рассмотрим уравнение ренормализационной группы для сильной связи

$$\mu\frac{d\alpha}{d\mu}=-\beta_0\alpha(\mu)^2-\beta_1\alpha(\mu)^3-\beta_2\alpha(\mu)^4+\ldots$$

Переупорядочивая термины, мы получаем выражение, которое мы можем интегрировать

$$\frac{d\mu}{\mu}=\frac{d\alpha}{-\beta_0\alpha(\mu)^2-\beta_1\alpha(\mu)^3-\beta_2\alpha(\mu)^4+\ldots}$$

для конкретности давайте рассмотрим случай с одной петлей (мои рассуждения применимы в общем случае, но формулы становятся громоздкими), где$\beta_1=\beta_2=\ldots=0$

$$\int{}\frac{d\mu}{\mu}=\int\frac{d\alpha}{-\beta_0\alpha(\mu)^2}$$

результаты интеграции

$$\ln{\frac{\mu}{r}+C_1=\frac{1}{\alpha\beta_0}}+C_2$$

$C_1$а также$C_2$являются константами интегрирования. Мы можем упростить дело, объединив их, просто сделав$C\equiv{}C_1-C_2$что оставляет нас с

$$\ln{\frac{\mu}{r}+C=\frac{1}{\alpha\beta_0}}$$

Вам может быть интересно узнать о$r$. Мы интегрировали дифференциальное уравнение первого порядка, которое должно оставить нам только одну постоянную интегрирования. $r$исходит из того, что$\mu$является размерным параметром, поэтому, чтобы записать логарифм, который появляется в интеграле, мы должны ввести размерный параметр. Важно заметить, что$r$может быть ЛЮБОЙ размерный параметр (с тем же знаком, что и$\mu$для журнала, чтобы иметь смысл), так как

$$\frac{d}{d\mu}\ln{\frac{\mu}{r}}=\frac{r}{\mu}\frac{1}{r}=\frac{1}{\mu}$$

для ЛЮБОГО значения$r$.$r$просто исчезает после производной. Таким образом, пока$C$будет задан некоторыми начальными условиями на$\alpha$в какой-то момент$\mu_0$с$r$у нас есть полная свобода выбирать все, что мы хотим (до тех пор, пока оно имеет тот же знак, что и$\mu$).

Конечно, разные$r$-s даст нам разные$C$-с. Для упрощения вопроса мы могли бы задаться вопросом, всегда ли мы можем выбрать подходящее$r$такой, что$C=0$. Чтобы убедиться, что это действительно возможно, предположим, что$C'$а также$r'$таковы, что выполняются начальные условия. Тогда, если мы хотим$C$чтобы быть равным нулю, должно выполняться следующее уравнение

$$\ln{\frac{\mu}{r'}}+C'=\ln{\frac{\mu}{r}}$$

чье решение

$$r=r'e^{-C'}$$

Мораль этой истории в том, что для любого$r'$а также$C'$мы всегда можем подобрать$r$такой, что$C=0$. Таким образом можно записать решение дифференциального уравнения в первом уравнении этого ответа (в одном цикле бета-функции)

$$\ln{\frac{\mu}{r}} = \frac{1}{\alpha\beta_0} \quad \Rightarrow \quad \frac{\mu}{r} = e^{1 / \alpha\beta_0}$$

Этот$r$является$\Lambda_{QCD}$. Меняя имена и переставляя термины, мы получаем известную формулу (вы могли видеть некоторые$2\pi$-s плавает в некоторых местах, это просто вопрос того, как вы определяете$\beta_i$-s в первом уравнении ответа)

$$\Lambda_{QCD}= \mu e^{\frac{-1}{\beta_0\alpha(\mu)}}$$

Один момент, который я хотел бы сделать. Возможно, вы слышали иногда, что$\Lambda_{QCD}$является ренормгрупповым инвариантом. Приведенный выше анализ должен сделать это утверждение кристально ясным, ведь мы видели, что$\Lambda_{QCD}$по построению является простой константой!

Решение для$\alpha$

$$\alpha(\mu)=\frac{1}{\beta_0\ln\frac{\mu}{\Lambda_{QCD}}}$$

Заметь$\mu=\Lambda_{QCD}$делает связь сингулярной. Поэтому мы видим, что$\Lambda_{QCD}$- это масштаб, в котором преобладают непертурбативные эффекты.

Чтобы установить его числовое значение, из уравнения выше мы легко видим, что$\alpha$определяет$\Lambda_{QCD}$. Поэтому мы можем получить его, используя экспериментальное значение для$\alpha$.