Есть ли предел плотности энергии в ОТО?

Question

Есть ли предел плотности энергии в ОТО?

Джон

Я говорю об ОТО с классическими полями и энергией. Один вопрос, распределенный по трем все более строгим ситуациям:

Есть ли предел плотности энергии в ОТО? (буквально, может ли плотность энергии иметь сколь угодно большое значение в какой-то точке пространства в какой-то момент времени)

Существует ли предел плотности энергии, за которым всегда будет образовываться черная дыра?

Давайте выберем небольшой объем, здесь я просто выберу планковский объем. Существует ли предел средней плотности энергии в этом объеме, за пределами которого всегда будет образовываться черная дыра?

Уточнение:

В свете http://en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity , могут ли те, кто отвечает, что плотность энергии ограничена и относится к массе $M$ в некоторых уравнениях, пожалуйста, конкретно укажите, как вы определяете $M$ с точки зрения плотности энергии, или определения $M$ с точки зрения $T^{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса. Ваш $M$ зависит от выбора системы координат?

Кроме того, читая некоторые комментарии, создается впечатление, что существует путаница в отношении того, что означает плотность энергии. Основываясь на википедии http://en.wikipedia.org/wiki/File:StressEnergyTensor.svg , похоже, что мы можем рассмотреть плотность энергии = $T^{00}$ тензора энергии-импульса. Если вы считаете, что это неправильная терминология, объясните, и я отредактирую вопрос, если это необходимо.

Джон

Раньше был еще один красивый ответ, который получил положительные голоса, а теперь его нет. Что случилось? Модератор цензурирует ответы?

пользователь346

@Джон, я сомневаюсь. Модераторы волей-неволей не удаляют ответы AFAIK. Должно быть, это был плакат, который передумал по поводу своего ответа.

Любош Мотл

Дорогой Джон, да и нет. Ответ удалил модератор - фактически главный модератор этого сервера. Однако ответ также был удален его автором. Это потому, что автор ответа и главный модератор на этом сервере - один и тот же человек, Дэвид З. Он был удален после того, как другой пользователь нашел недостаток в аргументе, связанном со свободой координат.

Джон

Рой написал небольшую дискуссию. И теперь этот ответ тоже был удален! Я надеялся, что на прошлой неделе Дипак также добавит свой ответ, поскольку, по-видимому, Эдвард что-то упрощает. Вместо дальнейшего обсуждения почти буквально отрицательная сумма. Полная противоположность тому, на что я надеялся. :( ... Я сдаюсь.

Рой Симпсон

У меня был написан ответ и расширенный ответ, но я удалил их из-за того, что вокруг этого вопроса все еще слишком много неопределенностей. Что склонило чашу весов для меня, так это осознание в последнюю минуту того, что книга ММ не обязательно отождествляет «плотность энергии» с

T^{00}

$T^{00}$ либо. В книге ММ обсуждается правильная плотность энергии, но в книге недостаточно тензорных объяснений ее терминов. Итак, еще одна неопределенность заключается в том, принимает ли аргумент ММ уже, так сказать, ответ Эдварда. В сочетании с неопределенностями определения кольца и массы [продолжение]

Рой Симпсон

... недостаточно категоричен, чтобы дать ответ, отличный от большого вопросительного знака. Тем не менее ответ Лоуренса (и подобные комментарии) можно найти в литературе (не только в книге ММ), но они не связаны с

T^{00}

$T^{00}$ себя, возможно, даже не для

T^{a b}

$T^{ab}$ . Я не знаю, являются ли они "неправильными" или это имеет значение, что

T^{00}

$T^{00}$ в этих аргументах не используется. Я уверен, что исследования по этим темам будут продолжены.

Эдвард

Определения @Roy Mass и гипотеза об обруче действительно являются интересными ответами на этот вопрос. Однако я не совсем уверен, что книга ММ даже говорит о «правильной» плотности энергии, поскольку он использует ее, чтобы заявить об ограничении электрического поля. Даже в СТО я не думаю, что имеет смысл пытаться определить правильную плотность для электромагнитной плоской волны, так как нет инерциальной системы отсчета, в которой она находится в покое. Учитывая его «происхождение» GR, вероятно, лучше просто игнорировать книгу Motion Mountain всякий раз, когда она вызывает GR.

Рой Симпсон

@ Эдвард, «Я не думаю, что имеет смысл пытаться определить правильную плотность ...» - эквивалентная концепция для EM была бы

E^{2} + B^{2}

$E^2+B^2$ не так ли? Я рассматриваю этот вопрос как вопрос об инвариантных физических аспектах плотности энергии в целом (в основном материи) — и можно ли доказать, что ЧД формируется, — а не о вариациях и интерпретациях, возможных благодаря свободе координат. Я мог ошибаться в этом, и, возможно, Джон просто хотел знать, какие числа потенциально могут появиться внутри

T^{a b}

$T^{ab}$ ?

Эдвард

@Рой

E^{2} + B^{2}

$E^2 + B^2$ просто

T^{00}

$T^{00}$ для электромагнитного поля и, следовательно, так же зависит от координат. Обычный способ определения «надлежащей плотности» для объекта или жидкости состоит в том, чтобы указать плотность в его системе покоя. У нас нет такой роскоши, например, с электромагнитной плоской волной. Поэтому я не думаю, что в этом случае имеет смысл пытаться определить правильную плотность. Может быть умный способ переопределить терминологию, которая не очевидна сразу, но без ссылки на другие векторы, такие как скорость, единственным скалярным инвариантом является след.

T

$T$ что равно 0 для электродинамики.

Ответы (3)

Есть ли предел плотности энергии в ОТО?

Раньше был еще один красивый ответ, который получил положительные голоса, а теперь его нет. Что случилось? Модератор цензурирует ответы?
@Джон, я сомневаюсь. Модераторы волей-неволей не удаляют ответы AFAIK. Должно быть, это был плакат, который передумал по поводу своего ответа.
Дорогой Джон, да и нет. Ответ удалил модератор - фактически главный модератор этого сервера. Однако ответ также был удален его автором. Это потому, что автор ответа и главный модератор на этом сервере - один и тот же человек, Дэвид З. Он был удален после того, как другой пользователь нашел недостаток в аргументе, связанном со свободой координат.
Рой написал небольшую дискуссию. И теперь этот ответ тоже был удален! Я надеялся, что на прошлой неделе Дипак также добавит свой ответ, поскольку, по-видимому, Эдвард что-то упрощает. Вместо дальнейшего обсуждения почти буквально отрицательная сумма. Полная противоположность тому, на что я надеялся. :( ... Я сдаюсь.
У меня был написан ответ и расширенный ответ, но я удалил их из-за того, что вокруг этого вопроса все еще слишком много неопределенностей. Что склонило чашу весов для меня, так это осознание в последнюю минуту того, что книга ММ не обязательно отождествляет «плотность энергии» с $T^{00}$ либо. В книге ММ обсуждается правильная плотность энергии, но в книге недостаточно тензорных объяснений ее терминов. Итак, еще одна неопределенность заключается в том, принимает ли аргумент ММ уже, так сказать, ответ Эдварда. В сочетании с неопределенностями определения кольца и массы [продолжение]
... недостаточно категоричен, чтобы дать ответ, отличный от большого вопросительного знака. Тем не менее ответ Лоуренса (и подобные комментарии) можно найти в литературе (не только в книге ММ), но они не связаны с $T^{00}$ себя, возможно, даже не для $T^{ab}$ . Я не знаю, являются ли они "неправильными" или это имеет значение, что $T^{00}$ в этих аргументах не используется. Я уверен, что исследования по этим темам будут продолжены.
Определения @Roy Mass и гипотеза об обруче действительно являются интересными ответами на этот вопрос. Однако я не совсем уверен, что книга ММ даже говорит о «правильной» плотности энергии, поскольку он использует ее, чтобы заявить об ограничении электрического поля. Даже в СТО я не думаю, что имеет смысл пытаться определить правильную плотность для электромагнитной плоской волны, так как нет инерциальной системы отсчета, в которой она находится в покое. Учитывая его «происхождение» GR, вероятно, лучше просто игнорировать книгу Motion Mountain всякий раз, когда она вызывает GR.
@ Эдвард, «Я не думаю, что имеет смысл пытаться определить правильную плотность ...» - эквивалентная концепция для EM была бы $E^2+B^2$ не так ли? Я рассматриваю этот вопрос как вопрос об инвариантных физических аспектах плотности энергии в целом (в основном материи) — и можно ли доказать, что ЧД формируется, — а не о вариациях и интерпретациях, возможных благодаря свободе координат. Я мог ошибаться в этом, и, возможно, Джон просто хотел знать, какие числа потенциально могут появиться внутри $T^{ab}$ ?
@Рой $E^2 + B^2$ просто $T^{00}$ для электромагнитного поля и, следовательно, так же зависит от координат. Обычный способ определения «надлежащей плотности» для объекта или жидкости состоит в том, чтобы указать плотность в его системе покоя. У нас нет такой роскоши, например, с электромагнитной плоской волной. Поэтому я не думаю, что в этом случае имеет смысл пытаться определить правильную плотность. Может быть умный способ переопределить терминологию, которая не очевидна сразу, но без ссылки на другие векторы, такие как скорость, единственным скалярным инвариантом является след. $T$ что равно 0 для электродинамики.

Эдвард · Answer 1

Ответ - нет. Предела плотности энергии нет (для всех трех вопросов).

Самый простой способ убедиться в этом состоит в том, что плотность энергии равна $T^{00}$ компонент тензора энергии напряжения. Решение в ОТО зависит от тензора энергии полного напряжения, поэтому недостаточно просто говорить о плотности энергии. Кроме того, поскольку плотность энергии является лишь компонентом тензора, она является величиной, зависящей от системы координат. Таким образом, начиная с решения, которое не становится черной дырой и где-то имеет некоторую энергию, мы всегда можем выбрать систему координат, чтобы сделать плотность энергии сколь угодно большой.

Более четко сформулировано: одной локальной лоренцевской симметрии достаточно, чтобы показать, что плотность энергии не ограничена в ОТО. И, кроме того, поскольку существуют решения с ненулевой энергией, которые не становятся черными дырами, это также отвечает на ваш второй вопрос.

Чтобы сделать ответ на третий вопрос более ясным, давайте обсудим точное решение. Рассмотрим решение Робертсона-Уокера с идеальной жидкостью. Вот пример тензора энергии напряжения для идеальной жидкости в сопутствующей системе отсчета:

$T^{ab} =\left( \begin{matrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{matrix} \right)$

Теперь, если мы перейдем к другой системе координат, используя преобразование координат: $\Lambda^{\mu}{}_{\nu} =\left( \begin{matrix} \gamma &-\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right)$

Мы видим, что плотность энергии преобразуется как: $\rho' = \gamma^2 \rho + p \beta^2 \gamma^2 = \gamma^2 (\rho + p \beta^2)$

Так что плотность энергии может быть не только сколь угодно большой, но даже в конечном объеме.

Как именно вы переходите от высказывания плотность энергии преобразуется как ... к плотности энергии может быть сколь угодно большой, но даже в конечном объеме ?
@Deepak Я не понимаю ваших комментариев с Роем по этому поводу. Разве это преобразование координат не показывает, что плотность энергии увеличится не только в одной точке? Например, как, по вашему утверждению, будет выглядеть новый тензор энергии напряжения? Вы постоянно не соглашаетесь с Эдвардом и оскорбляете ниже, например, «любительское махание руками» или хуже в другой ветке. Дайте свой собственный ответ , если вы не согласны с Эдвардом. Пожалуйста, покажите нам правильный ответ.
@ Джон, неважно, какое преобразование вы решите применить к тензору энергии-импульса. Дело в том, что здесь вы имеете дело с решением уравнений Эйнштейна. Независимо от того, что может испытать любой данный наблюдатель , это не изменит уравнения движения — в данном случае уравнения Фридмана. Следовательно, для метрики FLRW существует такое понятие, как критическая плотность $\rho_c$ (ссылка: Вальд), который определяет, является ли космология открытой (гиперболической), закрытой (сферической) или плоской. В частности, существует доверительный выбор наблюдателей, сопровождающих метрику.
Для тривиального решения, такого как Минковский, такого доверительного выбора нет, и рассуждения Эдварда могут пройти. Но этого не произойдет для общей метрики, зависящей от времени. Насчет любительского махания руками и оскорблений - вы правы. Я перехожу границы вежливого разговора. Но опять же, Эдвард пытается дать слишком упрощенный ответ на сложный вопрос, на который такого простого ответа не существует. И указание на то, что это так, кажется, не имеет никакого эффекта. В любом случае, мои извинения @Edward за то, что назвал вас любителем. Я уверен, что нет. Ваше здоровье!
@Deepak Пожалуйста, дайте свой ответ. Было бы неплохо увидеть ваше полное рассуждение и математику, как это сделали Эдвард и Рой.
@Deepak Вы пишете: «Неважно, какое преобразование вы решите применить к тензору энергии-импульса». Согласны ли вы со следующим: (1) $T^{00}$ зависит от системы координат. (2) $T^{00}$ может быть сколь угодно большим в конечной области пространства, как показал Эдвард. (3) независимо от выбора координат $T^{00}$ это плотность энергии. ... У меня проблемы с пониманием, поскольку вы, кажется, продолжаете отвечать на вопрос, отличный от заданного. Таким образом, прямое да/нет по этим трем пунктам помогло бы прояснить ситуацию. Звучит так, будто вы говорите (1) да, (2) да, (3) нет.
поскольку вы, кажется, продолжаете отвечать на вопрос, отличный от заданного ... да, я думаю, что в моем случае это врожденный дефект :). Пожалуйста, дайте свой собственный ответ ... Я сделаю это в свое сладкое время. Я не претендую на то, что у меня есть ответы на все вопросы. Это сложный вопрос, и я отвечу, как только почувствую, что у меня есть физически разумный ответ. Надеюсь, ты сможешь жить с этим.
В то же время ответы @Roy и @Lawrence лучше всего отражают мою позицию. Я надеюсь, что я также сделал это ясно. Кроме того, это не экзамен с несколькими вариантами ответов, и на хорошие вопросы вряд ли когда-либо будут даны краткие и сухие ответы, которые вы, кажется, ищете.
@Deepak «Я сделаю это в свое сладкое время… Надеюсь, ты сможешь с этим смириться». Конечно, не торопитесь, и я с нетерпением жду вашего собственного ответа. Потому что в настоящее время я не понимаю, почему ответ Эдварда «слишком упрощен», поэтому я не вижу, что ограничивает его ответ и, следовательно, как согласовать его комментарии с вашими. Я с нетерпением жду подробностей вашего ответа по этому вопросу.
@ Эдвард, так что, чтобы было ясно, вы говорите, что в любом пространстве-времени нет предела значению плотности физической энергии (в точке или области - и с любым типом материи / излучения)? Почему это отличается от утверждения о том, что (основанные на материи) черные дыры не могут образовываться? Сформулировано с точки зрения $\rho$ выше можно было бы потребовать доказательство того, что оно может быть неограниченным в решении ОТО (с материей). Я (теперь) думаю, что первоначальный вопрос всегда был о физике ОТО, а не о свободе координат.
@Roy На мой взгляд, похоже, что Джон все еще борется с концепцией, согласно которой только инвариантные, а не зависящие от координат количества имеют какое-либо реальное значение. Так что это приводит к небрежным ассоциациям вроде «большое количество материи может коллапсировать в черную дыру» -> «E=mc^2» -> «энергия ограничена образованием черной дыры» -> «если я буду двигаться слишком быстро, я стану черная дыра'. Это явно неправильно, но это распространенный вопрос/замешательство студентов.
@ Рой, я не знаю, как ответить на твой вопрос. Если бы вы могли четко определить, что вы подразумеваете под « плотностью физической энергии», возможно, вам следует задать свой вопрос в последнем комментарии в качестве продолжения вопроса Джона. Вероятно, это было бы намного интереснее, чем обсуждение пределов зависимости от координат. $T^{00}$ .
@ Эдвард, физическая ценность количества - это его измерение в лаборатории. Таким образом, физическая плотность массы будет ее измерением в лаборатории. Используйте E=mc^2 для преобразования в измеренную плотность физической энергии (E=m, если c=1). Тогда возникает вопрос, может ли она стать произвольно высокой без образования ЧД (в лаборатории).
Этот последний вопрос не мой вопрос; это исходный вопрос: существует ли предел средней плотности энергии в этом объеме, за пределами которого всегда будет формироваться черная дыра? Я просто подчеркиваю физическое , чтобы избежать ссылок на тензоры, которые отвлекают.
@Roy Опять же, проблема в том, что это количество зависит от системы координат. Ученый может использовать любую систему координат для описания лабораторного эксперимента. Выбор системы координат не является «физическим», именно поэтому физические законы не зависят от него. Итак, нам нужно сформулировать вопрос в неизменяемых терминах. Вместо этого вы, кажется, говорите $T^{00}$ уже является физическим, поскольку его можно измерить с помощью заданной системы координат ... если вы занимаете позицию «физического», то вопрос неинтересен и уже ответил.
@Roy Из-за путаницы Джон выбрал для вопроса определение плотности энергии. Если бы вы могли соответствующим образом перефразировать это в обсуждение инвариантной величины, вопрос был бы другим (и гораздо более интересным), поэтому я призываю вас начать новый вопрос.
@ Эдвард, я не упомянул системы координат, потому что согласен, что они тоже произвольны. Лаборатория будет иметь фиксированную длину, скажем. Вопрос тензорных координат здесь касается диапазона представлений этой длины. Физический вопрос: «Может ли объект неограниченной длины войти и быть помещенным в лабораторию»? Я согласен, что здесь есть по крайней мере два типа вопросов: о свойствах тензорных координат и о реальных физических свойствах. Задача этого вопроса заключалась в том, чтобы решить физический вопрос: я не думаю, что это учебник по тензорам.
Кроме того, не Джон, а вы представили $T^{00}$ в этот вопрос - только чтобы доказать, что $T^{00}$ была координатно-зависимой и неинвариантной. Большой! Так что изначальный вопрос так и остался без ответа.
Вот научное обсуждение плотности с единицами СИ и некоторыми фактическими значениями: en.wikipedia.org/wiki/Density . Таким образом, утверждение, которое вы, кажется, делаете, что это понятие (плотность - массовая плотность $\rho$ ) не имеет ни инвариантного, ни физического, ни лабораторного смысла, для меня это не имеет смысла.

Джон · Answer 2

В физике существует предел плотности энергии (представьте себе объем Хаббла, полный фотонов с длиной волны, уменьшенной до длины планки, упакованной 1 на планковский объем, схлопывающейся в сингулярность). Однако в общей теории относительности нет фундаментальных величин, кроме с, и, следовательно, нет такого ограничения.

Лоуренс Б. Кроуэлл · Answer 3

Радиус Шварцшильда равен $R~=~2GM/c^2$ , где если упаковать массу $M$ в объем радиусом $R$ вы получите черную дыру. Термин предел массы-энергии не является стандартным языком, но если вы втолкнете достаточную массу в объем, он станет черной дырой и причинно изолирован от внешнего мира.

В качестве разъяснения для Джона, Лоуренс, по сути, имеет в виду здесь гипотезу об обруче ( en.wikipedia.org/wiki/Hoop_Conjecture ). Однако упомянутая здесь масса не может быть просто связана с плотностью энергии, иначе гипотеза об обруче тривиально неверна. Мы всегда можем изменить координаты, чтобы добавить столько кинетической энергии, сколько захотим, и это явно не меняет того, образуется черная дыра или нет. Так что, если говорить только о плотности энергии - нет предела нет. Масса в общей теории относительности может быть сложной концепцией en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity
Вы никогда не упоминаете плотность энергии в своем ответе. Итак, хотя кажется, что вы говорите «да», существует предел плотности энергии, я не могу понять, как это согласуется с ответом Эдварда «нет». Можете ли вы привести какую-нибудь деталь, связывающую ваше утверждение с ответами «да»/«нет» на заглавный вопрос?

Есть ли предел плотности энергии в ОТО?

Джон

Джон

пользователь346

Любош Мотл

Джон

Рой Симпсон

Рой Симпсон

Эдвард

Рой Симпсон

Эдвард

Ответы (3)

Эдвард

пользователь346

Джон

пользователь346

пользователь346

Джон

Джон

пользователь346

пользователь346

Джон

Рой Симпсон

Эдвард

Эдвард

Рой Симпсон

Рой Симпсон

Эдвард

Эдвард

Рой Симпсон

Рой Симпсон

Рой Симпсон

Джон

Лоуренс Б. Кроуэлл

Эдвард

Джон

Гинзберг