Постоянная времени и период полураспада — когда что использовать?

«Какой простой интуитивный способ узнать разницу между типами систем, в которых период полураспада полезен, и системами, в которых константы времени более значимы».

Для систем, подчиняющихся экспоненциальному затуханию, можно использовать либо период полураспада, либо постоянную времени. Я думаю, это во многом вопрос традиции, что Half-Life ($t_{1/2}$) используется для радиоактивности и постоянной времени ($\tau$) для контуров C–R и L–R. Отношения между ними являются

• Для цепей CR или LR до появления электронных калькуляторов было немного проще вычислять$\tau =\frac LR$или$\tau =CR$чем вычислить$t_{1/2}=(\ln 2)CR$.

• и, возможно, меньше мотивации знать, сколько времени потребуется, чтобы напряжение на конденсаторе уменьшилось вдвое, чем то, сколько времени потребуется, чтобы радиоактивная активность уменьшилась вдвое. Для поведения схемы обычно имеет значение общее представление о характерном времени, и$\tau$так же хорош, как$t_{1/2}$.

• Разумный непрофессионал больше интересуется радиоактивностью, чем разрядом конденсатора, и легче объяснить идею периода полураспада, чем идею постоянной времени или ее обратной постоянной распада. [Был огромный общественный интерес — см., например, главы в бестселлерах Джинса и Эддингтона — к радиоактивности в первые несколько десятилетий после ее открытия.]

Я думаю, что основная причина, по которой константы времени используются в первую очередь, заключается в том, что это вызывает наименьшую вероятность появления неприятных констант в расчетах. Это та же самая причина, по которой$\exp(x)$более популярен, чем$2^x=\exp(x\ln 2)$: если вы выведете последнее (что делается очень часто), вы получите натуральный логарифм 2, вкрадывающийся в ваши уравнения.

С другой стороны, для переходных процессов период полураспада довольно просто связан с периодом, когда изменение равноудалено между начальным и конечным (по крайней мере, асимптотически) состоянием. В качестве иллюстрации возьмем RC-цепь, нагруженную ступенчатой ​​функцией (напряжение включения): после периода полураспада фактическое напряжение находится на полпути между 0 и +V, что дает многим людям ощущение, что они знают, где начинается что-то интересное. произойти с точки зрения «количества» чего-либо: поскольку многие инженерные задачи также являются экономическими по своей природе (а экономика часто является бинарным решением, то есть «покупать или не покупать»), период полураспада кажется своего рода точка безубыточности между усилиями и прибылью. Что, конечно, не очень хорошо для RC-цепи, потому что для нее обычно используют постоянную времени. КСТАТИ, это почти та же ситуация, что и в частотном диапазоне (фильтры), где в первую очередь представляет интерес уменьшение «количества» вдвое (с учетом пределов 3 дБ или 6 дБ, в зависимости от того, рассматривается ли амплитуда или мощность). Но эти рассуждения, конечно, довольно субъективны.

Следовательно, я повторю аргумент Удивленной Чайки, чтобы использовать в целом то, что другие специалисты в этой области считают уместным.

Неверная, но немного полезная эвристика заключается в использовании постоянной времени для повторяющихся событий и периода полураспада для однократных событий.

Более полезно использовать то, что используется другими в этой конкретной области. Период полураспада для радиоактивности, постоянная времени для электронных фильтров, время до отказа для расчета надежности, годовые проценты в деньгах, уровень рождаемости в демографии, значение R для болезней, бушели на акр в сельском хозяйстве.

Использование значений, которые не являются общими в этом поле, в целом нежелательно. Например, отрицательный период полураспада для роста населения или значение R для роста денег. Возможно, они поймут, что вы имеете в виду, но им это точно не понравится.

Это просто вопрос вкуса, предпочитаете ли вы писать экспоненциальное затухание с постоянной времени$\tau$и полномочия$e$

Оба способа эквивалентны, и вы можете переключаться между ними, используя

Уравнение (1) кажется более естественным с математической точки зрения, потому что оно непосредственно появляется как решение дифференциального уравнения

А (2) легче понять даже непрофессионалу-математику, не знающему значения$e$.

Даже для радиоактивных систем использование может быть смешанным. Об изотопах сообщается как о периоде полураспада, но об отдельных нуклонах или элементарных частицах часто сообщается как о времени жизни.

См., например , https://pdg.lbl.gov/2021/web/viewer.html?file=../tables/rpp2021-sum-leptons.pdf , где распад мюона и тау-лептона указан как среднее время жизни, несмотря на то, что распад по качеству подобен радиоактивным ядрам!

Вы заметите, что многие частицы вместо этого имеют измерение ширины; это используется для очень недолговечных систем. Такое же обозначение иногда используется для систем с чрезвычайно коротким временем жизни, например, 8Be, для описания распада которого используются единицы эВ: https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/reCenter.jsp?z=4&n=4

Учитывая это, я думаю, что часто это просто исторические причины, по которым один используется по сравнению с другим. Но в случае чрезвычайно малых сроков жизни часто бывает ни то, ни другое.