Отклонение свободно падающих объектов (эффект Кориолиса) с использованием закона сохранения углового момента

Question

Отклонение свободно падающих объектов (эффект Кориолиса) с использованием закона сохранения углового момента

земля
Физика
свободное падение
Эффект Кориолиса
инерциальные системы
угловой момент

Сёрен

Я читал этот pdf на неинерциальной системе, в частности у меня есть вопрос об отклонении свободно падающего объекта из-за эффекта Кориолиса.

Считай мяч, выпущенный из башни на высоте $h$ . Смещение из-за эффекта Кориолиса, рассчитанное по формулам в земной системе, равно $(4.19)$ , после него следует объяснение эффекта, использующего сохранение момента количества движения мяча в инерциальной системе отсчета.

$\begin{matrix} (4.19) & Икс "=" \frac{2 \sqrt{2} ю {час}^{3 / 2}}{3 г^{1 / 2}} \end{matrix}$ $x =\frac{2\sqrt{2}ωh^{3/2}}{3g^{1/2}} \tag{4.19}$ Непосредственно перед падением частица находится на радиусе $(R+h)$ и вращается вместе, поэтому у него есть скорость $(R+h)ω$ и угловой момент на единицу массы $(R+h)^2ω$ . Когда он падает, его угловой момент сохраняется (единственная центральная сила), поэтому его конечная скорость v в (восточном) направлении вращения удовлетворяет условию $Rv = (R+h)^2ω$ , и $v= (R+h)^2ω/R$ . Так как это больше, чем скорость $Rω$ подножия башни частица опережает башню. Горизонтальная скорость относительно башни примерно $2hω$ (игнорируя $h^2$ срок), поэтому средняя относительная скорость при падении составляет около $hω$ . Теперь мы видим, что смещение $(4.19)$ может быть выражен в виде (время полета) умножить (средняя относительная скорость), как и следовало ожидать .

Но

в_{а в е р а г е} т_{ф л я г час т} "=" час ю \sqrt{\frac{2 час}{г}}

$v_{average} t_{flight}=h \omega \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Который отличается $\frac{2}{3}$ от $(4.19)$ . Это из-за сделанного приближения?

Я также не совсем понимаю, почему средняя относительная скорость $v_{average}$ принимается равной половине найденной относительной скорости. Разве это не верно только для линейных движений с постоянным ускорением?

Ответы (3)

Отклонение свободно падающих объектов (эффект Кориолиса) с использованием закона сохранения углового момента

Диракология · Answer 1

Ошибка заключается только в том, чтобы учитывать среднюю скорость $h\omega$ .

Когда частица находится на высоте $z$ , его горизонтальная (относительно Земли) скорость равна $v=2z\omega$ , игнорируя члены более высокого порядка в $z$ . В течение временного интервала $dt$ частица падает $dz$ с вертикальной скоростью $u(z)$ . Следовательно

д т "=" \frac{д г}{ты (г)} "=" \frac{д г}{\sqrt{2 г г}},

$dt=\frac{dz}{u(z)}=\frac{dz}{\sqrt{2gz}},$ где

u (z) = \sqrt{2 g z}

$u(z)=\sqrt{2gz}$ можно получить по формуле Торричелли. Горизонтальное расстояние, пройденное за это время

d t

$dt$ является

д Икс "=" в д т "=" 2 г ю \frac{д г}{\sqrt{2 г г}} .

$dx=vdt=2z\omega\frac{dz}{\sqrt{2gz}}.$ Интеграция из

0

$0$ к

h

$h$ получаем полное горизонтальное перемещение

Икс "=" \sqrt{\frac{2}{г}} ю \int_{0}^{час} \sqrt{г} д г "=" \frac{2 ю}{3} \sqrt{\frac{2 {час}^{3}}{г}} .

$x=\sqrt{\frac 2g}\omega\int_0^h\sqrt zdz=\frac{2\omega}{3}\sqrt{\frac{2h^3}{g}}.$

Отличный ответ, но это предполагает, что мяч падает на нулевой широте.

Джон Дарби · Answer 2

Учитывая сохранение углового момента для брошенного мяча, $\omega(z)$ , угловая скорость мяча как функция z, не является постоянной для упавшего мяча. $\omega(z) = {(R + h)^2 \over (R + z)^2} \omega_e$ , где $\omega_e$ - угловая скорость Земли. Когда мяч падает, $z$ уменьшается, а его угловая скорость увеличивается. Ответ @Diracology предполагает $\omega(z)$ постоянно на $\omega_e$ за выпавший мяч; это хорошее приближение для $h << R$ и поэтому $z << R$ .

уравнение 4.19 предполагает, что мяч брошен на нулевой широте, где $\vec v = \vec \omega \times \vec R$ имеет величину $\omega R$ . В общем, $\vec \omega \times \vec R$ имеет величину $\omega R \enspace cos\lambda$ где $\lambda$ это широта. Учитывая широту, ур. 4.19 надо умножить на $cos\lambda$ .

См. учебник Фаулза «Аналитическая механика» для вывода уравнения. 4.19 в неинерциальной системе отсчета с учетом широты и вы найдете множитель $cos\lambda$ в результате.

Рикардо Очел · Answer 3

Вы правы насчет неправильной средней скорости. Но вы действительно можете использовать разговор об угловом моменте для расчета правильного смещения. Для этого пусть $\omega_0$ - угловая скорость Земли и $h_0$ - начальная высота мяча. Тогда из закона сохранения углового момента следует, что

(р + {час}_{0})^{2} ю_{0} "=" (р + час)^{2} ю (час) \Rightarrow ю (час) "=" ю_{0} (1 + \frac{2}{р} ({час}_{0} - час))

$(R+h_0)^2\omega_0 = (R+h)^2 \omega(h)\Rightarrow \omega(h)=\omega_0(1+\frac{2}{R}(h_0-h))$ Позволять

Δ ω

$\Delta \omega$ - разность угловых скоростей мяча и земли и

Δ ϕ

$\Delta \phi$ быть разностью их углов. Отсюда следует, что

Δ ф "=" \int_{0}^{Т} Δ ю д т "=" \frac{2 ю_{0}}{р} \int_{0}^{Т} {час}_{0} - час (т) д т

$\Delta \phi = \int_0^T \Delta \omega \,\mathrm{d}t = \frac{2\omega_0}{R}\int_0^T h_0-h(t) \,\mathrm{d}t$ Подключение

h_{0} - h (t) = \frac{g}{2} t^{2}

$h_0-h(t) = \frac{g}{2}t^2$ и

T = \sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}

$T = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}$ один получает

Δ ф "=" \frac{ю_{0} г}{р} \int_{0}^{\sqrt{\frac{2 {час}_{0}}{г}}} т^{2} д т

$\Delta \phi = \frac{\omega_0 g}{R}\int_0^{\sqrt{\frac{2h_0}{g}}}t^2 \, \mathrm{d}t$ и поэтому

Икс "=" р Δ ф "=" \frac{2 ю_{0} {час}_{0}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{3 \sqrt{г}}

$x = R\Delta \phi = \frac{2\omega_0 h_0^{\frac{3}{2}}\sqrt{2}}{3\sqrt{g}}$

Отличный ответ! Несколько моментов: расширение серии использовалось для $\omega(h)$ , очень маленький член центростремительного ускорения не учитывался в уравнении движения в радиальном направлении для оценки h0 -h(t), и предполагалось, что объект упал на экваторе.

Отклонение свободно падающих объектов (эффект Кориолиса) с использованием закона сохранения углового момента

Сёрен

Ответы (3)

Диракология

Джон Дарби

Джон Дарби

Рикардо Очел

Джон Дарби

Кориолисово отклонение объекта и сохранение углового момента

Является ли Земля инерциальной системой отсчета?

Направление отклонения силы Кориолиса на Земле

Сила Кориолиса и сохранение углового момента

Эффект Кориолиса против сохранения углового момента на карусели, снайперской пуле, зависшем вертолете и высотных ракетах

Пример теории, которая соблюдает принцип слабой эквивалентности, но нарушает принцип эквивалентности Эйнштейна.

Две причины фактора 2 в эффекте Кориолиса

Почему Земля считается инерциальной системой отсчета? [дубликат]

Почему мы не чувствуем, как Земля вращается?

Что произойдет, если вращение Земли замедлится? [закрыто]