Классификация неприводимых подпространств для углового момента в соответствии с симметризацией

Таким образом, цель состоит в том, чтобы взять пространство тензорного произведения и вычислить его вращательно замкнутые подпространства, которые также называются неприводимыми представлениями (irreps). Применительно к квантовым угловым моментам вращательно замкнутое подпространство представляет собой комбинации, которые являются собственными состояниями полного углового момента.

Существует глубокая математическая теория (двойственность Шура-Вейля), которая связывает эти подпространства с представлениями симметрической группы (также известной как группа перестановок). Более того, эти представления связаны с таблицами Юнга через соответствие Робинсона-Шенстеда. Представления симметричной группы в конечном итоге связаны с разбиением целого числа, то есть сколькими способами целое число может быть выражено в виде суммы меньших (или равных) положительных целых чисел.

Поиск литературы по вышеупомянутым терминам приведет вас к математике для выпускников, которую трудно понять. Здесь я попытаюсь представить подход, ориентированный на физику, который, надеюсь, сделает некоторые из абстрактных понятий немного более конкретными.

Вы начинаете с фундаментального представления в виде отдельного прямоугольника на диаграмме Юнга:

╭──┐
│  │
└──┘

Это представляет собой двумерное вращение вверх/вниз без повторения.

Теперь возьмем тензорное произведение с самим собой:

╭──┐   ╭──┐   ╭──┬──┐   ╭──┐
│  │ X │  │ = │  │  │ + │  │
└──┘   └──┘   └──┴──┘   ├──┼
                        │  │
                        └──┘ 

Тензорное произведение формируется путем объединения двух диаграмм слева всеми возможными способами, образующими правильную диаграмму Юнга.

Каждая диаграмма справа представляет нерепрезентацию полного углового момента. Вы можете найти размерность представления, используя замечательную формулу длины Крюка:

$${\rm dim}\,W(n, r) = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{r+j-i}{{\rm hook}(i, j)}$$

$n$это количество ящиков на диаграмме и$r$– размерность фундаментального иррепа ($r=2$). Здесь$(i, j)$представляет собой целое число, обозначающее номер строки и столбца, произведение проходит по всем прямоугольникам на диаграмме.${\rm hook}(i, j)$длина крюка коробки, определяемая как:

$${\rm hook}(i,j)=1+{\rm arm}(i,j)+{\rm leg}(i,j)$$

Длина плеча (ножки) ящика — это количество ящиков справа (под) ящика.

Применение формулы длины крюка к приведенному выше уравнению дает:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 3}_S\oplus{\bf 1}_A$$

это означает, что объединение двух дублетов дает триплет и синглет, что мы узнали из элементарной квантовой механики.

(Примечание к тензору: если бы мы использовали 3-вектора в качестве нашего фундаментального невозврата, формула длины крючка дает:

$${\bf 3}\otimes{\bf 3}={\bf 6}_S\oplus{\bf 3}_A$$

что говорит нам, что у декартовых тензоров есть шестимерная часть и трехмерная часть (которая преобразуется как вектор, также известная как векторное произведение).

В пространстве Минковского это говорит нам, что 4-тензоры выглядят так:

$${\bf 4}\otimes{\bf 4}={\bf 10}_S\oplus{\bf 6}_A$$

где мы узнаем 10 измерений тензора энергии напряжения$T_{\mu\nu}$, и шестерка электромагнетизма$F_{\mu\nu}$))

Действительно замечательная формула длины крючка.

Дальнейшее рассмотрение покажет, что подпространства в этом случае симметричны или антисимметричны.

Примечание: мы объединили 2 фундаментальных ирпов. Разделы 2:

$$2 = 2$$ $$2 = 1 + 1$$

Каждому разделу соответствует диаграмма Юнга. Каждая диаграмма имеет ряд стандартных таблиц Юнга (то есть каждое поле заполняется числом от 1 до n, так что числа увеличиваются слева направо и сверху вниз). Другая формула длины крючка говорит нам, сколько стандартных таблиц существует для каждой диаграммы:

$${\rm dim}\pi_n = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{n!}{{\rm hook}(i, j)}$$

Это количество повторений этого измерения (и количество повторений симметричной группы этого измерения). Здесь оба 1:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
└──┴──┘
╭──┐
│1 │
├──┼
│2 │
└──┘ 

Станет понятно, почему горизонтальные (вертикальные) прямоугольники (анти)симметричны.

Чтобы показать силу картинок Юнга, нам нужно объединить 3 невозврата. Если это спин 1/2, то формула длины крючка говорит нам:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}_S\oplus{\bf 2}_M\oplus {\bf 2}_M$$

Размерность симметричной комбинации равна 4:

$$|\frac 3 2,+\frac 3 2\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$$ $$|\frac 3 2,+\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 3 2\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$$

а антисимметричная комбинация имеет размерность 0: синглетного состояния нет. (Примечание к тензору: если бы мы использовали$r=3$и не$r=2$в формуле длины крюка у нас было бы одномерное антисимметричное пространство, натянутое на$\epsilon_{ijk}$...замечательно...как это работает?).

Остается вопрос: как диаграммы говорят нам, как комбинировать перестановку индексов или спиновых состояний? Для этого мы рассмотрим другой$n=3$схема, с двумя стандартными начинками:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
├──┼──┘
│3 │
└──┘ 

╭──┬──┐ 
│1 │3 │
├──┼──┘
│2 │
└──┘ 

Для конкретики мы сосредоточимся на верхнем. Отсюда мы вычисляем симметризатор Юнга и применяем его к меткам частиц (или индексам, если мы делаем тензоры ранга 3).

Сначала нам нужна симметричная группа из 3 букв$(1,2,3)$:

$$S_3 =\{e,e_{23},e_{12},e_{123},e_{132},e_{13}\}$$

где перестановка, например$e_{123}$означает$(1,2,3)\rightarrow (2,3,1)$. Это все шесть элементов, с$e$быть личностью.

Во-первых: найдите все перестановки, которые оставляют таблицы «эквивалентными по строкам». Таблицы эквивалентны строкам, если каждая строка имеет одинаковые номера:

$R=\{e,e_{12}\}$

и аналогично для эквивалентности столбцов, с добавлением того, что мы включаем четность перестановки:

$C=\{e,-e_{13}\}$

Затем симметризатор Юнга является произведением этих двух, а именно:

$$S =R*C = \{e+e_{12}-e_{13}-e_{132} \}$$

Затем вы применяете эти перестановки к$|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle$и нормализовать, чтобы получить:

$$|\frac 1 2, +\frac 1 2\rangle= (|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2$$

Очень просто.