Чтение менее технических книг Алена Конна (с соавторами) «Беседы о разуме, материи и математике» (1995) и «Треугольник мыслей » (2001) произвело на меня особое впечатление от его платонистского взгляда на математику, предполагающего существование архаичной математической реальности вне пространства. -время, но такое же неисчерпаемое, как и нормальная физическая реальность.
Мне интересно, основываются ли его конкретные аргументы на вершине устоявшейся философской школы (а не только на платонизме в философии математики в целом) или они вызвали дальнейшую работу философов. Если какая-либо такая школа или работа существует (в обычной физической реальности, т.е.:), кто является ведущими представителями и с какими статьями или книгами я мог бы ознакомиться для более подробного изложения?
Вот некоторые важные цитаты из двух книг:
Возьмем, к примеру, простые числа, которые, на мой взгляд, представляют собой более стабильную реальность, чем окружающая нас материальная [...]
[Если мы рассмотрим теорему Гёделя о неполноте] под другим углом, а именно, как утверждающую, что истинные утверждения о положительных целых числах не могут быть сведены посредством логического вывода к конечному числу аксиом, можно увидеть, что количество информации, содержащейся во множестве всех таких истинных утверждений о положительных целых числах, бесконечно. Я спрашиваю вас: не является ли это отличительной чертой реальности, независимой от всего человеческого творения? [...]
Что я нахожу захватывающим в математической реальности и в усилиях, предпринимаемых человеком, чтобы попытаться понять объекты, которые ее населяют, так это то, что часто можно охарактеризовать конкретный объект с точностью до изоморфизма по его свойствам [...] Я был бы очень трудно, я думаю, делать подобные заявления о внешней физической реальности. Как может даже земля, например, наша собственная планета, быть определена как защитная? Можно сказать, что это третья планета в системе, вращающейся вокруг звезды, находящейся в спиральном рукаве галактики, но, очевидно, это не выделяет ее среди других великих планет […]
Все логические выводы, к которым мы приходим посредством дедуктивных рассуждений, принадлежат, на мой взгляд, проективной системе мышления [...] Истинные или ложные свойства целых чисел по контракту принадлежат архаической реальности [...] Это экспериментально проверенные факты об архаической реальности [...]
Мне кажется, что одна бесспорная черта внешней реальности состоит в том, что она представляет собой постоянный источник информации, которая, конечно, не сразу постижима для мозга, но не сводится к прошлому [...] Каждая секунда, которая проходит в данном объеме, будет производить определенное количество новых битов информации, несводимых к прошлому [...] Для меня это один из основных атрибутов внешней реальности [...]
Реальность — это источник информации в том смысле, что постоянно возникают вещи, которые нельзя свести к прошлым событиям, — вещи, которые действительно [...]
Для меня наша способность постигать внешний физический мир означает, что существует архаичная математическая реальность, которая существует на том же основании, что и внешняя физическая реальность […] Самое необычное в математической концептуализации то, что мы можем представить вселенную. как четырехмерный объект, нам не нужно размещать его в пространстве большего размера. Мы можем представить его как бы внутренне, на его собственных условиях […] Причинности больше нет, потому что больше нет времени! Как только вы принимаете такой взгляд на внешний мир, понятие причинности становится просто одной из особенностей математической модели Вселенной. Больше нет никаких препятствий для понимания этой архаичной математической реальности как чего-то, что существует наряду со вселенной.
(Идеи Конна относительно субъективного времени также казались весьма вдохновляющими и потенциально глубокими.)
Большая часть этого кажется довольно общим математическим платонизмом, но одна вещь, которая выделяется для меня и на которую, кажется, стоит дать конкретный ответ, заключается в следующем:
Что я нахожу захватывающим в математической реальности и в усилиях, предпринимаемых человеком, чтобы попытаться понять объекты, которые ее населяют, так это то, что часто можно охарактеризовать конкретный объект с точностью до изоморфизма по его свойствам [...] Я был бы очень трудно, я думаю, делать подобные заявления о внешней физической реальности. Как может даже земля, например, наша собственная планета, быть определена как защитная? Можно сказать, что это третья планета в системе, вращающейся вокруг звезды, находящейся в спиральном рукаве галактики, но, очевидно, это не выделяет ее среди других великих планет […]
Это, кажется, предполагает своего рода структурализм . Конн кажется довольно ясным, что, как только мы охарактеризовали математический объект с точностью до изоморфизма , мы идентифицировали его однозначно (в отличие от случая с землей). То есть, грубо говоря, нет отдельных, но изоморфных математических объектов; изоморфные объекты идентичны . И это, или что-то в этом роде, является одним из ключевых постулатов структурализмов разного толка. Статья, ссылка на которую приведена выше, является хорошим началом для этого. Более поздняя статья, развивающая эту основную идею (в довольно техническом направлении — будьте осторожны!) — «Структурализм, инвариантность и однозначность» Стива Аводи ( ссылка )
Мозибур Улла
Дракс
Мозибур Улла
Дракс