Можно ли свести математику к произвольным аксиомам и логике?

Предприятие по сведению математики к логике называется логицизмом . В этом предприятии преследовались две разные цели, первая — сократить только арифметику натуральных чисел , которая во многих отношениях является самой простой и основной частью математики. Другой — свести всю математику или, по крайней мере, насколько это возможно, к набору аксиом (рассмотрите что-то вроде теории множеств ZFC ).

Исторически логицизм возглавляли Фреге , Дедекинд и Пеано , среди прочих. Пеано наиболее известен тем, что дал набор аксиом , позволяющих конструировать натуральные числа и арифметику, в то время как Дедекинд, возможно, наиболее известен (по крайней мере, с точки зрения этого разговора) тем, что открыл так называемые разрезы Дедекинда , разбиения рациональных чисел. которые позволяют строить действительные числа. Фреге намеревался просто сформировать логическую основу для арифметики, одновременно разрабатывая инструменты и языки современной логики:

В своей книге 1879 года Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens он разработал исчисление предикатов второго порядка и использовал его как для определения интересных математических понятий, так и для формулировки и доказательства математически интересных предложений. Однако в своем двухтомном труде 1893/1903 гг. «Основы арифметики» Фреге добавил (в качестве аксиомы) то, что он считал логическим утверждением (Основной закон V), ​​и попытался вывести фундаментальные аксиомы и теоремы теории чисел из результирующая система. К сожалению, не только Основной закон V не был логичным утверждением, но и полученная в результате система оказалась непоследовательной, поскольку она была подвержена парадоксу Рассела.

Логицизм неоднократно подвергался неудачам, некоторые из которых были настолько разрушительными, что многие философы считают, что программа никогда не может быть успешной. Одним из них является слабость логики второго порядка и то, как Основной закон V Фреге не смог сделать то, на что он надеялся, вывести всю арифметику. Даже если бы закон не был подвержен парадоксу Рассела, у него все равно была бы вопиющая онтологическая проблема: проблема Юлия Цезаря . По сути, проблема заключается в том, что что-то вроде принципа Юма (который очень похож на Основной закон V) не может дать достаточного эпистемологического обоснования того, почему мы должны вытаскивать числа из наших произвольных определений:

[Gl, §55:] … но мы никогда не можем — если взять грубый пример — решить с помощью наших определений, имеет ли какое-либо понятие принадлежащее ему число Юлий Цезарь, или является ли этот завоеватель Галлии числом или нет. [из перевода Остина во Фреге, 1974 г.]

В конечном счете, многие считают, что первоначальная концепция логицизма Фреге не является парадигмой, которая может работать (хотя интерес возобновился, см. Неологицизм ).

Есть еще две, а то и три другие вопиющие проблемы при сведении математики к логике. Они приходят в форме двух теорем Гёделя о неполноте и неопределимости истины Тарского .

Аксиомы Пеано оказываются подчиненными двум теоремам Гёделя о неполноте. Первая теорема (если быть кратким) утверждает, что любая формальная система, означающая набор аксиом в рамках дедуктивной логики, подчиняется тому, что называется предложениями Гёделя. Это предложения, истинные (семантически), но недоказуемые (синтаксически) внутри самой системы. Гёдель выполнил эту теорему, дав обобщенный способ построения этих предложений в любой формальной системе, которая достаточно сильна, чтобы формализовать арифметику Робинсона (более слабая форма арифметики, чем аксиомы Пеано). Арифметика Пресбургера — это формальная система арифметики, которая не содержит умножения и не подчиняется первой теореме Гёделя о неполноте.

Это поднимает что-то важное. Что здесь действительно примечательно, так это то, что результат Гёделя не обязательно относится к самой математике (если только вы не верите, что математика — это строго замаскированная логика); по сути, его результаты касаются самих формальных систем или самой логики. Результаты синтаксические, то есть они о синтаксисе, правилах системы, а не о семантике, значении, которое мы приписываем системе. Формальные системы — это просто набор произвольных правил и символов, пока мы не придаем им значение, и результаты Гёделя в основном говорят: «Если у вас есть этот набор правил или что-то более сильное, чем он, вы можете вывести этот набор предложений». Неважно, какое значение мы им придаем, система говорит о числах и арифметике. Прежде чем мы введем в теорию какое-либо семантическое содержание, гёделевские предложения все еще будут присутствовать, потому что они построены чисто синтаксическим способом. Это главная проблема для логицизма, потому что она показывает, что любая логическая система будет иметь истинные утверждения о натуральных числах, утверждения, которые, как мы знаем, истинны, но недоказуемы в нашей теории.

Вторая теорема Гёделя о неполноте гласит, что «никакой непротиворечивый набор аксиом (с достаточной силой) не может доказать свою собственную непротиворечивость». Другой способ прочитать это так: «любая достаточно сильная система аксиом, которая может доказать свою собственную непротиворечивость, несостоятельна». Два объединенных результата говорят, что «любая непротиворечивая система, обладающая хотя бы достаточной силой, чтобы определить арифметику Робинсона, не может быть полной из-за ее предложений Гёделя, и она не может доказать свою собственную непротиворечивость». Система может быть непротиворечивой, но мы не можем сформулировать доказательство этого внутри самой системы.

В результате этих двух теорем мы, как математики и философы, должны с осторожностью относиться к нашим аксиоматическим системам. Многие считают, что арифметика Пеано и теория множеств ZFC непротиворечивы, однако мы верим в это только потому, что потратили так много лет на их изучение и до сих пор не нашли несовместимого предложения. Мы делаем это суждение исключительно на основе индукции (и немного мета-рассуждений, кажется очень маловероятным, что ZFC непоследовательна), но у нас нет формального доказательства в самих системах, что они непротиворечивы. Однако вы можете связать доказательства непротиворечивости меньших и более слабых систем, но это только продвинет эпистемическую проблему непротиворечивости выше по цепочке. ZFC может доказать непротиворечивость PA; другая теория множеств, называемая NBGнепротиворечива тогда и только тогда, когда ZFC непротиворечива; еще более сильная теория множеств, называемая MK , может доказать непротиворечивость ZFC; и так далее. Однако на каждом шаге мы должны предполагать, что высшая теория непротиворечива, чтобы поверить в доказательство непротиворечивости низшей теории. В конце концов, системы, к которым мы приходим, становятся настолько большими, что мы не можем делать разумных предположений об их непротиворечивости. Из-за второй теоремы Гёделя о неполноте никогда не будет теории потолка, которая может доказать свою непротиворечивость и может быть использована для доказательства всех более слабых теорий.

Теорема Тарского об неопределимости очень похожа на теоремы Гёделя, за исключением того, что она фокусируется на определимости истины. Подобно тому, как Гёдель показывает, что формальная система не может демонстрировать свою собственную непротиворечивость, Тарский показывает, что предикат, определяющий, является ли предложение истинным, не может быть сформулирован внутри самой системы и должен исходить из какой-то другой, «мета» системы. Изучение метасистем такого рода, позволяющих определить истину, называется теорией моделей , которую возглавил Тарский. Его результаты, тем не менее, в конечном счете показывают, что не может быть ни одной теории, которая содержала бы средства, чтобы показать, что ее предложения верны, потому что «истинность» ее собственных предложений никогда не может быть определена внутри нее самой.

Итак, предприятие логицизма натолкнулось на несколько препятствий. Некоторые люди, а именно неологи (включая меня), считают, что результаты Гёделя и Тарского не обязательно исключают окончательное сведение математики к логике; более того, считается, что всегда будет несколько вещей, опущенных из теории, и некоторые предположения, которые мы должны сделать, но не можем доказать. Статья в Стэнфордской энциклопедии философии, ссылка на которую приведена в начале этого ответа, добавляет гораздо больше деталей к философским возражениям против теорий логицизма, и ее стоит прочитать, чтобы лучше понять этот предмет. При всем этом широко распространено мнение, что непротиворечивость ZFC верна, и на практике у математиков нет проблем с доверием к этому предположению. Почти повсеместно считается истинным математическим доказательством, если вы можете сформулировать свою теорему как производное предложение ZFC. Однако есть некоторые логики, которые не верят в непротиворечивость ZFC. Недавно прошедший логик и математикДжек Сильвер очень открыто высказывался о своем мнении, что ZFC непоследовательна, и он энергично работал над построением доказательства; однако он потерпел неудачу.

В конце концов, многие считают, что невозможно полностью свести всю математику к логике, учитывая результаты Гёделя и Тарского. Некоторые все еще делают; однако на данный момент ни одна логицистская программа не сделала именно то, чего желали Фреге и Пеано.