Почему радиус Шварцшильда — это радиус горизонта событий?

Помните, что определение горизонта событий — это «прошлая граница будущей нулевой бесконечности». На обычном языке это означает: взять все световые лучи, уходящие в бесконечность. Затем найдите ту, которая едва не улетает обратно в бесконечность. Поверхность, образованная этими световыми лучами, является горизонтом событий.

Теперь взгляните на диаграмму Крускала пространства-времени Шварцшильда (это пространство-время Шварцшильда, записанное в координатах, не сингулярных на горизонте).

Сплошные черные диагональные линии, пересекающие середину, соответствуют$r = 2M$. Они, очевидно, являются асимптотами кривых вверху и внизу, представляющих$r=0$, так$r=2M$является горизонтом событий пространства-времени Шварцшильда. (ну, технически, верхний треугольник, образованный$r=2M$поверхности — это «будущий» горизонт событий пространства-времени, а нижний треугольник — это «прошлый» горизонт событий белой дыры, но вас, вероятно, не волнует подобная педантичность.)

В координатах Шварцшильда, если посмотреть на$g_{tt}$и$g_{rr}$части метрики, они переворачивают знаки в$r=2M$. Поэтому для$r<2M$в$r$направление времениподобно и$t$направление пространственноподобно. Подобный будущему времени световой конус любого события внутри горизонта указывает на меньшие значения$r$.

Я попытаюсь ответить с другой точки зрения, чем остальные.

Решение Шварцшильда — это вакуумное решение для статического сферически-симметричного пространства-времени.

Координаты Шварцшильда «хороши» для решения как минимум по двум причинам:

(1) линейный элемент вдали от начала координат в этих координатах приближается к линейному элементу плоского пространства-времени в сферических координатах

(2) площадь поверхности сферы в радиальной координате$r$является$4\pi r^2$

Однако оказывается, что координаты не охватывают все пространство-время, поскольку требование статичности пространства-времени не может быть выполнено для всего пространства-времени.

Это, по существу, причина того, что существует координатная сингулярность в$r = 2M$, граница между внешней областью, где геометрия является статической, и внутренней областью, где геометрия является динамической.

Есть преобразование координат от Шварцшильда$r, t$координаты Крускал-Секерес$U, V$координаты следующим образом:

Для внешней области

а для внутренней области

В этих координатах линейный элемент равен

где$r$неявно определяется

Таким образом, в этих координатах нет координатной сингулярности в$r=2M$. Действительно, у нас есть

для

Но из линейного элемента мы видим, что когда

интервал нулевой (светоподобный), таким образом, мировые линии с$U^2 = V^2$светоподобны; поверхность$r=2M$является нулевой поверхностью, т. е. лежит на световом конусе. Только безмассовые сущности могут оставаться на$r=2M$.

Существует настоящая пространственно-временная сингулярность$r=0$. в$U,V$диаграмма,$r=0$соответствует гиперболе

Асимптоты – это$r=2M$световой конус. Отсюда немедленно следует, что сингулярность находится в будущем любой мировой линии во внутренней области.

Ниже приведено изображение из «Гравитации» MTW сравнения различных геодезических пространства-времени Шварцшильда в координатах Шварцшильда и координатах Крускала – Секереса.

Это то, что Пенроуз и Хокинг доказали с помощью теорем сингулярности Пенроуза-Хокинга . В частности, и я цитирую связанную статью:

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда существует сфера, в которой изначально сходятся все исходящие (и входящие) световые лучи, граница будущего этой области закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические сойдутся. Это важно, потому что исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта решения черной дыры все сходятся.

Это доказывает, что любая мировая линия, пересекающая горизонт событий, должна заканчиваться в сингулярности.