Цепь переменного тока, имеющая только конденсатор

Где я не прав?

Мне жаль говорить вам, что вы ошибаетесь от начала до конца. Вы упускаете из виду весь смысл анализа (формулировка книги тоже не помогает).

«ЧР на пластинах конденсатора = приложенная ЭДС» - это просто причудливый (и сбивающий с толку любого новичка) способ сказать: «Давайте подадим переменное напряжение на конденсатор и посмотрим, что произойдет с другими величинами, такими как ток через него». То есть:

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Полагая это таким образом, легко ответить на этот вопрос о вас:

[...] как может быть верным, что данное утверждение (1) верно в любой момент времени?

Что ж, это правда, потому что мы заставляем это быть таким , чтобы мы могли видеть, что происходит с током через конденсатор.

Следующий шаг — выяснить, как мы с Ви связаны. Можно было бы ожидать, что если мы заставим потенциал между обкладками конденсатора изменяться во времени, то ток через конденсатор будет вести себя примерно так же.

Мы помним, как и книга, что:

и

Итак, с помощью небольшой математики, наконец, мы приходим к:

Что в математическом смысле означает, что ток тоже синусоидальный и что существует$\dfrac{\pi}2$разность фаз между V и I.

Однако что это означает в физическом смысле ? Ну, как-то твоя интуиция на этот счет была неплохая:

Ток равен 0 при π/2 и при нечетных кратных π/2, где приложенная ЭДС соответствует ее пиковому значению. Таким образом, в этих случаях конденсатор становится полностью заряженным.

Вот и все! Когда конденсатор полностью заряжен, к нему не течет ток. Когда он полностью разряжен, к нему поступает максимальный ток, чтобы зарядить его. И конденсатор колеблется в этих состояниях все время, пока мы продолжаем подавать на него переменное напряжение.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Прочитав ваш комментарий к моему ответу, я понял, в чем ваша проблема: ваш математический подход ошибочен.

Вы смотрите на мгновенную стоимость$V$и подумай чем можно занять отрезок времени${\Delta}t$достаточно маленький так$V$можно считать постоянным, т.${\Delta}V{\approx}0$. Затем вы уподобляете эту ситуацию постоянному току (что тоже неверно, потому что при постоянном токе вы заряжаете конденсатор через резистор, которого здесь нет) и делаете вывод, что если${\Delta}V=0$затем$I=0$поэтому ток не течет. Затем вы экстраполируете этот вывод на все возможные$t$и сделать вывод, что ток вообще не течет и что конденсатор должен быть полностью заряжен все время при пиковом значении приложенной ЭДС.

Ну, это математически неверно по ряду причин:

1. Если вы имеете дело с интервалами, применяйте их ко ВСЕМ вовлеченным величинам. Ваш недостаток заключается в рассмотрении$I=0$когда вы должны рассмотреть${\Delta}I=0$вместо этого (что тоже неверно, продолжайте читать, чтобы понять, почему).

2. Глядя на то, что происходит в любое произвольное время$t_1$, твой${\Delta}t$является приращением к этому$t_1$. То же самое касается$V$и$I$: твой${\Delta}V$будет прибавкой к$V_1=V(t_1)$, и${\Delta}I$будет прибавкой к$I_1=I(t_1)$. Думать о$V_1$и$I_1$как начальные условия в начале интервала${\Delta}t$. неправильно предполагать$V_1$и$I_1$равны нулю. Кроме того, неправильно думать о${\Delta}V$как разность между приложенной ЭДС и напряжением на конденсаторе. Как уже было сказано, нет никакой разницы между приложенной ЭДС и напряжением на конденсаторе, они просто вынуждены быть равными.

3. Для очень маленьких${\Delta}t$интервалы, у вас будет${\Delta}V{\approx}0$и${\Delta}I{\approx}0$. Но это вовсе не означает, что конкатенация временных интервалов, где${\Delta}I{\approx}0$будет давать$I=0$и отсюда сделать вывод, что «ток не течет, поэтому конденсатор должен быть заряжен и$V$должна быть постоянной». Так думать неправильно. Дифференциальное исчисление и исчисление бесконечно малых подсказывает нам, как поступать с вещами, когда${\Delta}t{\rightarrow}0$. И кто-то более умный, чем вы и я, уже использовал их, чтобы обработать это, чтобы мы могли на нем основываться:

Ток в конденсаторе пропорционален скорости изменения напряжения на нем (пропорционально тому, как быстро меняется напряжение на конденсаторе). Чем быстрее изменяется напряжение (частота сигнала переменного тока высока), тем больше ток, протекающий через конденсатор.

Это означает, что для поддержания тока через конденсатор необходимо изменить приложенное напряжение. Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ток. С другой стороны, если напряжение поддерживается постоянным, ток не будет течь независимо от того, насколько велико напряжение. Точно так же, если ток через конденсатор равен нулю, это означает, что напряжение на нем должно быть постоянным, а не обязательно равным нулю.

Особым случаем является случай, когда входное напряжение представляет собой синусоиду. Для синусоиды скорость изменения напряжения ($\frac{dV}{dt}$) достигает максимума, когда сигнал напряжения пересекает ноль. И скорость изменения напряжения достигает минимума, когда напряжение достигает пикового значения.

Вот почему ток достигает$0A$потому что на пике скорость изменения$\frac{dV}{dt} = 0$и когда входная синусоида пересекает 0, скорость изменения составляет макс.$\frac{dV}{dt} = A_{peak}2\pi f$.

Например для$A=1V$и$f = 50Hz;C=1\mu F$

Наибольший наклон сигнала$\frac{dV}{dt} = A_{peak}2\pi f = 1V*6.28*50Hz = 314V/s$поэтому значения пикового тока конденсатора

$I = C*\frac{dV}{dt} = 1\mu F * 314 \frac{V}{s} = 0.314mA$

И эта диаграмма пытается показать фазы зарядки и разрядки для синусоидального входного напряжения.

Весь этот анализ предполагает стационарную ситуацию (схема включена в течение очень долгого времени).

ПД =$\xi(t)$это определение, так что это всегда верно.

Предполагается, что напряжение является синусоидальной функцией времени (и устойчивым состоянием), поэтому физически что-то (например, выход функционального генератора) заставляет это напряжение на конденсаторе быть равным$\xi(t)$"="$\xi_0 \sin(\omega t)$.

Они получают ток конденсатора как функцию приложенного напряжения.

вот как это происходит. ваше 1-е утверждение «PD на пластинах конденсатора = приложенная ЭДС» верно, и ваше 2-е утверждение, что «это означает, что конденсатор полностью заряжен», также верно, но ваше предположение, что «ток не будет течь», неверен, потому что вы видите в Переменный ток, напряжение увеличивается и уменьшается. заряд будет входить в конденсатор и выходить из него, поэтому в конечном итоге будет течь ток. надеюсь, это поможет.