Определяется ли квантовая теория поля регуляризацией решетки?

Я могу только догадываться, что «КТП определена на решетке» означает, что определенные бесконечности в лагранжевой КТП происходят из определения КТП на гладком (лоренцевом или евклидовом) многообразии, в то время как многие физики подозревают, что «гладкость» — это приближение, которое нарушает вниз на определенной шкале длины (например, на планковской длине), и включение истинной — квантовой — природы пространства-времени излечит КТП-бесконечности. В этом смысле определение КТП на решетке является лучшим приближением, чем определение КТП на гладком многообразии.

Я бы возразил, однако, что не существует единой унифицирующей основы для выполнения КТП, лагранжева КТП — это только один из подходов. Есть, конечно, алгебраическая/локальная/аксиоматическая КТП, у которой вообще нет проблем с определением КТП на глобально гиперболических лоренцевских многообразиях - у нее есть проблема с построением интересных моделей, но за последние два десятилетия был достигнут некоторый прогресс. .

Был один специфический подход, который возвышает операторные расширения до определяющего свойства, аксиомы КТП, он начался где-то в этой статье:

• С. Холландс, Р. М. Уолд: Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, расширение операторного произведения и темная энергия .

Введение и игрушечный пример можно найти в этой диссертации:

• Ян Холланд: Построение коэффициентов расширения произведения оператора с помощью условий согласованности

Это очень новый подход, который я цитирую в основном для того, чтобы проиллюстрировать, что остается много места для разработки объединяющего, аксиоматического подхода к КТП, который, если он будет найден, может значительно изменить наше представление о КТП.

(Я также знаю о том факте, что многие специалисты по квантовой гравитации думают, что все, что касается КТП, уже сказано и сделано: ну, застрелите меня.)

Моше, я надеюсь, что другие дадут свой ответ, и я тоже хотел бы его прочитать.

Но я согласен с вами, что евклидовы расчеты хороши «только» для некоторых довольно важных величин, которые легко вычислить в евклидовой установке — и их следует продолжить на пространство-время Минковского. Некоторые вопросы, зависящие от времени, безусловно, делают более естественным пытаться решать проблемы непосредственно в пространстве-времени Минковского. Однако полный набор амплитуд рассеяния на оболочке или функций Грина вне оболочки является очень важным набором наблюдаемых и, в некотором смысле, содержит «все динамические знания» о теории. И это динамическое знание гораздо более естественно вычисляется в евклидовой системе, поэтому такие люди, как я, не побоялись бы сказать, что евклидовы вычисления более фундаментальны.

Несколько независимо от этого возникает вопрос о решеточной КТП. Решетчатая КХД обычно предназначена для обозначения вычислений Монте-Карло и т. д., и они вычисляются в евклидовом пространстве-времени. Однако вы также можете дискретизировать только пространственные координаты, выполнить КХД на гамильтоновой решетке и сохранить пространство Минковского. Я бы отделил евклидово пространство-время от решетчатости как две разные и в значительной степени независимые процедуры.

Дискретизация пространства-времени — это простая процедура для аппроксимации реальной теории, если мы хотим рассчитать ее на цифровом компьютере. Многие люди мыслят «дискретно» и у них есть проблема отличить реальность от компьютерных моделей. Вот почему они думают, что дискретные модели — это «настоящая вещь», а КХД на решетке — их выбор. Конечно, в этом отношении нет ничего научного.

Природа без труда работает с непрерывными величинами — и полями, которые зависят от непрерывных переменных (и даже от бесконечного множества переменных, если это необходимо), — и даже физики, которые гораздо более ограничены, чем Природа, научились многим математическим приемам, которые позволяют им непосредственно вычислить результаты в непрерывном пространстве-времени.

Излишне говорить, что некоторые свойства системы изменяются, когда пространство-время поворачивается по Вику к евклидову (или обратно); и когда пространство-время дискретизировано. Первое преобразование изменяет условия реальности для спиноров и создает различные проблемы с фермионами. Второе преобразование — дискретизация — также порождает связанные с ним проблемы с фермионами, проблему удвоения фермионов и т. д. Более того, оно нарушает непрерывную трансляционную симметрию, а поскольку суперсимметрия антикоммутирует к трансляциям, решетки неизбежно нарушают (большую часть) и сверхзаряды. .

Конечно, если кто-то рассматривает суперсимметрию как ключевое свойство теории, ее потеря является огромной проблемой и в основном делает недействительной идею о том, что определение решетки является «более реальным» или «более фундаментальным».

Подводя итог, можно сказать, что решетчатость — это всего лишь один конкретный способ — один из концептуально самых простых или наиболее прямолинейных — определить теорию, которая на больших расстояниях перетекает в желаемую квантовую теорию поля. А некоторые люди хотят ограничить свои рассуждения решеткой, потому что считают, что их долг как ученых состоит в том, чтобы вести себя как можно более похоже на безмозглый цифровой компьютер. (Даже компьютеры могут иметь дело с нерешетчатыми подходами, но это требует от них и от программистов серьезного изучения математики, а не только механических операций на решетке.) Насколько мне известно, нет научного обоснования идеи, что " правильное» определение теории поля должно в конечном счете сводиться к решетке.

Решетка QCD определяется на сетке с интервалом$a$, и где на ребрах имеются калибровочные потенциалы. Обратные интервалы решетки являются ограничениями по импульсу и должны быть установлены так, чтобы масса самого тяжелого кварка была$m_q~>>~1/a$. Таким образом, шаг решетки не является полностью произвольным. Дискретная разность калибровочных потенциалов определяет поля

Это оценивает калибровочный потенциал вокруг квадрата или плакетки, которая находится в большой сетке. Затем поле оценивается так же, как магнитное поле оценивается как$B~=~-\nabla\times A$по оценке в области плакетки. Это означает, что лагранжиан для квантовой системы является периодическим и в некотором роде подобен блоховскому потенциалу. Предел, при котором шаг решетки берется достаточно малым, забавный периодический характер лагранжиана из-за решетки играет незначительную роль. Это одна из причин, по которой обратные интервалы решетки должны быть меньше, чем массы кварков.

Таким образом, решетка представляет собой подход конечных элементов к КТП, который установлен в масштабе отсечения теории. Решетчатая КХД работает, потому что нелинейный характер теории делает явные вычисления чрезвычайно сложными, особенно из-за обратного экранирования. Это усложняет вычисление спектра адронов там, где нет асимптотической свободы для работы.

Если кто-то не может показать, как найти киральные фермионы и избежать проблемы удвоения фермионов над решеткой, ясно, что регуляризация решетки не может охватить все. Этому человеку придется обойти теорему Нильсена-Ниномии.

Насколько я понимаю, решетчатая формулировка позволяет «естественно» использовать знаменитые рассуждения Вильсона о масштабах и «эффективных» теориях. На самом деле в этом «определении» КТП нет ничего физического, поскольку шаг решетки произволен, в отличие от подхода Вильсона к критическим явлениям. Я бы назвал это «туманом», в котором скрываются настоящие физические проблемы.