Почему оператор свободного поля один и тот же при наличии взаимодействий?

В свободной скалярной теории поле имело бы выражение

ф ( Икс ) "=" ∫ д 3 п ( 2 π ) 3 2 Е п а п е − я п мю Икс мю + а п † е я п мю Икс мю
Предположим, у нас есть взаимодействие с комплексным полем ψ , так что лагранжиан имеет член взаимодействия
л "=" − г ψ † ψ ф
Я сомневаюсь: делают ли полевые операторы ф ( Икс ) и ψ ( Икс ) имеют то же выражение, что и в свободной теории? Кажется, что это правда, но я не уверен, почему.

Я думал об этих возможностях:

  1. Мы находимся в картине взаимодействия, что означает, что эволюция операторов определяется свободным гамильтонианом. То есть, если мы перейдем от картины Шрёдингера к картине взаимодействия, нам понадобится только свободный гамильтониан. Тем не менее, оператор в картине Шредингера должен модифицироваться взаимодействием. Ведь выражение для свободного поля было получено путем решения уравнения Клейна-Гордона и квантования решения. Точно так же мы должны решить уравнения движения, которые будут иметь вид

    ( ◻ + м 2 ) ф "=" − г ф ψ
    а потом квантовать.

  2. Поскольку мы занимаемся теорией возмущений, поле не сильно меняется, и это хорошее приближение.

  3. Выражение поля не зависит от лагранжиана.
Ваш пункт номер 1 верен.
@Prahar Не могли бы вы уточнить? Почему взаимодействие не влияет на зависимость позиции?
Я думаю, что то, что вы ищете, называется формализмом сокращения LSZ. Однако она скорее феноменологична (поскольку допускает асимптотические состояния). Насколько мне известно, строгого подхода к этой проблеме не существует (математически картина взаимодействия в КТП даже не существует). Вероятно, лучше всего здесь принять формализм LSZ (несмотря на его очевидные недостатки) как тот, который правильно описывает рассеяние (когда связь мала) и забыть об этой проблеме, сосредоточившись на вычислении упорядоченных во времени операторных ожиданий произведения.

Ответы (1)

Строго определенный вид взаимодействующих полей в 3 + 1 размер неизвестен (пока), однако, скорее всего, он будет отличаться от формы свободного поля.

Существует априорный результат, который одновременно и проясняет, и путает вещи: теорема Хаага. Прежде чем попытаться намекнуть на результат и некоторые следствия, я хотел бы отметить, что, вопреки тому, что утверждается на этом форуме (и, кажется, это широко распространено среди физиков), теорема Хаага действительно:

  • что-то верное, что должно быть принято во внимание;

  • усложняет наивную картину взаимодействия для квантовых полей;

  • не мешает сформулировать хорошую математическую теорию КТП и согласовываться с пертурбативными результатами, которые дает теоретическая физика.

Сказал, что теорема Хаага в очень упрощенной форме утверждает следующее:

Существует бесконечно много неэквивалентных представлений канонических коммутационных соотношений (для квантовых полей). Среди них представление свободной и соответствующей взаимодействующей теории (оба удовлетворяют аксиомам Вайтмана) неэквивалентны .

Аксиомы Вайтмана — это математические аксиомы, которые считаются минимальным требованием для того, чтобы квантовая теория полей была математически четко определенной, и, как известно, удовлетворяются свободными теориями и некоторыми взаимодействующими теориями в малой размерности (например, ф 4 в 2 + 1 размеры). Однако ни одна теория взаимодействия в 3 + 1 размеры, как известно, удовлетворяют аксиомам.

Тем не менее, теорема Хаага дает априорную информацию: свободные и взаимодействующие квантовые поля являются неэквивалентными представлениями CCR. Это означает, что взаимодействующие поля не совпадают со свободными полями; и, вероятно, имеют неодинаковую форму, т.е. они, вероятно, не в фоковском представлении. Я говорю вероятно, потому что существуют фоковские представления, унитарно неэквивалентные между собой, поэтому теорема Хаага не препятствует тому, чтобы взаимодействующие поля были фоковскими, только они должны быть как минимум «неэквивалентными фоковскими» по отношению к свободным.

Кроме того, мы знаем (из тех немногих строгих примеров, которые у нас есть), что вид взаимодействующих полей действительно зависит от рассматриваемой теории: так, для одной теории взаимодействующее поле может быть в фоковском представлении, для какой-то другой — в не- Фок один.

Позвольте мне закончить ответ замечанием о том, что даже если свободная и взаимодействующая теории не являются унитарно эквивалентными, можно разработать теорию рассеяния, которая дает известные физикам результаты (например, формулы редукции LSZ), но также согласуется с Теорема Хаага: эта теория называется теорией рассеяния Хаага-Рюэля (ее можно найти в третьем томе книг Рида-Саймона).

Хороший комментарий! Можете ли вы порекомендовать какую-либо литературу, касающуюся перехода к свободной от представлений фазе теории (тд. предел)?
@Hamurabi Я не уверен, что точно понимаю ваш запрос ... насколько я знаю, единственные результаты QFT, которые полностью не представляют представления, - это результаты алгебраической квантовой теории поля (AQFT). Справочный и основополагающий документ по этому подходу принадлежит Хаагу и Кастлеру. Однако я не думаю, что в рамках AQFT можно найти динамические результаты. Обычно, чтобы получить непертурбативные динамические результаты, вам нужно либо использовать формулировку интеграла по траекториям (однако она часто математически плохо определена), либо манипуляции, которые начинаются с представления Фока.
@Hamurabi Однако, если вы ищете литературу по более конкретной теме, я могу (не уверен) помочь
Почему оператор свободного поля один и тот же при наличии взаимодействий?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v