Направление HH\textbf{H} и BB\textbf{B} внутри и снаружи стержневого магнита

Кажется, я столкнулся с противоречием, когда думал о направлениях$\textbf{H}$и$\textbf{B}$внутри и снаружи стержневого магнита.

Предположим, что стержневой магнит имеет примерно постоянную намагниченность M, направленную вдоль положительного направления z. Предположим также, что магнит сделан из изотропного материала, т.е.$\textbf{M}=\chi_m \textbf{H}$(1). Поэтому$\textbf{H}$должен указывать в том же направлении, что и$\textbf{M}$, при условии, что$\chi_m$положительно, что должно иметь место для большинства магнитных материалов? Из определения$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}$и подставляя с помощью (1), получаем$\textbf{B}=\mu_0(1+\chi_m)\textbf{H}=\frac{\mu_0(1+\chi_m)}{\chi_m}\textbf{M}=\frac{\mu_0\mu_r}{\mu_r-1}\textbf{M}$. Пока не$\mu_r$меньше 1,$\textbf{B}$также должны быть параллельны$\textbf{M}$. Поэтому пока мы получаем, что оба$\textbf{H}$и$\textbf{B}$должен указывать в том же направлении, что и направление$\textbf{M}$внутри магнита, то есть вдоль положительного направления z.

Мы знаем это$\nabla\cdot\textbf{B}=0$и, таким образом, применяя граничные условия на верхней и нижней поверхностях магнита (нормальных к оси z) с использованием бесконечно малой гауссовой доты, мы получаем, что$\textbf{B}^\perp_\textrm{outside}=\textbf{B}^\perp_\textrm{inside}$. Поэтому$\textbf{B}$непосредственно за пределами верхней поверхности также должны указывать в положительном направлении z. Предполагая, что вблизи магнита нет свободных токов,$\nabla\times\textbf{H}=\textbf{J}_\textrm{free}=\textbf{0}$. Применяя граничные условия к боковым поверхностям магнита (параллельным оси z),$\textbf{H}^\parallel_\textrm{outside}=\textbf{H}^\parallel_\textrm{inside}$. Поэтому$\textbf{H}$непосредственно снаружи боковых поверхностей также должны быть направлены в положительном направлении оси z. Однако силовые линии также должны закручиваться и встречаться с верхней поверхностью магнита, где$\textbf{H}$поэтому нужно указывать в отрицательном направлении z. С$\textbf{M}=\textbf{0}$снаружи,$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}$и$\textbf{H}$должно быть параллельно$\textbf{B}$но мы только что утверждали, что они указывают в противоположных направлениях из-за граничных условий. Как разрешить это противоречие?