Справедливость закона Ампера с точки зрения HHH

Если я правильно понял вопрос, ответ лежит в параграфе 6.3.3 книги Гриффитса. Да, он наследует разрыв. В этом случае вы все еще можете использовать дифференциальное уравнение сразу над и сразу под разрывом, и, выбрав путь интегрирования, который пересекает границу, вы получите граничные условия для магнитного поля и для вспомогательного поля. Еще одна ссылка:

https://unlcms.unl.edu/cas/physics/tsymbal/teaching/EM-913/section6-Magnetostatics.pdf

После редактирования:

Да, вы все еще можете использовать теорему, если вы осторожны с областями интеграции. Интеграл петли будет определен даже в случае разрыва из-за того, что я сказал в комментариях.

Справедливо ли это интегральное уравнение, если оно применяется к границе намагниченного материала (то есть один конец интеграла находится внутри намагниченного тела, а другой - вне его)? Или он наследует какие-то проблемы от своей дифференциальной формы?

Существует предположение относительно этого граничного условия, которое часто упускается из виду по разным причинам, но иногда может стать проблематичным. Ограничения этого предположения подробно обсуждаются в разделах I.5 и I.6 « Классической электродинамики», третьего издания Джона Д. Джексона (т. е. синей обложки). Итак, мы начинаем с:

Обычно следующее заметают под ковер, так сказать. Может быть поверхностная плотность тока,$\mathbf{K}$, который существует в тонком слое не толще одной толщины электронной кожи на поверхности проводящего материала, либо вызванного изменяющимися во времени полями, либо просто присутствующим из-за какого-либо источника. В таких случаях правая часть уравнения 0 меняется на:

На такой границе возникает еще одна проблема, связанная с тем, что Джексон называет действительно микроскопическими поверхностными плотностями заряда, т.е.$\rho\left( x \right) = \sigma \delta\left( x \right)$где$\sigma$- средняя плотность поверхностного заряда и$\delta\left( x \right)$– дельта-функция Дирака . Идеализированный сценарий, которому нас учат в классе, состоит в том, что$\sigma$существует на поверхности и что он имеет нулевую толщину, т. е. плотность заряда внутри проводников отсутствует, только на поверхности. Однако правда в том, что$\rho\left( x \right)$ограничивается внутри$\pm 2$ангстрем «поверхности» ионного распределения. Почти для всех целей электрическое поле на этой границе имеет разрыв, но в действительности оно, вероятно, изменяется на конечной длине, сравнимой с шириной нескольких атомов или около того.

Однако завиток не определен на границе, поэтому корректно ли определен петлевой интеграл? Другой способ сказать: могу ли я использовать теорему Стокса, когда ротор функции не определен в некоторой области?

Это зависит от того, что вы делаете. Вы тестируете то, что Джексон назвал бы микроскопическим или макроскопическим ? В последнем случае все намного проще, и правая часть уравнения 0 может исчезнуть, если нет значительной поверхностной плотности тока.$\mathbf{K}$, на границе. Даже если они присутствуют, все равно можно работать с уравнением 0 или 1, в зависимости от сценария, и получать значимые результаты для макроскопических приближений.

Примечание.
Я не переделывал определение Джексона о микроскопическом и макроскопическом , потому что в его книге это 10 страниц, и здесь это не особо необходимо. В основном это включает в себя отмечание разницы между пространственными и временными средними значениями ансамбля и почему пространственные значения являются правильным выбором, а затем множество деталей относительно того, почему XYZ подходит для ограничений WUV. Различие в отношении этого вопроса заключается в том, хочет ли ОП правильно моделировать$\mathbf{H}$через границу в масштабах до атомных или, если они в порядке с типичными, более крупными приближениями масштаба микрометров и выше (плюс-минус).

Контурный интеграл по границе следует рассматривать не как прямое применение теоремы Стокса в этой области, а в духе, подобном принципу аналитического продолжения.

Теорема Стокса

Это соотношение применимо, когда$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$существует. Это, конечно, не держится, когда$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$расходится.

В регионе за границей, хотя$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$расходится, интеграл площади не удался, но интеграл по контуру все еще работает. Затем мы принимаем контурный интеграл в качестве определения, распространенного на такие области.

Следовательно, отношение

является аналитическим продолжением в трансграничную область, даже$\nabla \times \bf{H}$расходится в нем.

Сходным образом,$\boldsymbol{\nabla}\cdot\bf{E}$расходится в$r=0$для$1/r^2$поле, но поверхностный интеграл там еще работает

Таким образом, мы принимаем результат поверхностного интеграла для определения силы расхождения.

Просто используйте закон Ампера для$\mathbf B$чтобы получить общий ток. Затем вычтите связанный ток из результата, чтобы получить свободный ток, если это необходимо.