Давайте проанализируем эволюцию кривизны вΛ ЦДМ
модель. Еслирр
,рМ
, ирΛ
- плотности излучения, вещества и темной энергии, а
рс"="3ЧАС28 πг
— критическая плотность, то мы можем определить
Омр"="рррс,ОмМ"="рМрс,ОмΛ"="рΛрс,
и количество
ОмК= 1 -Омр−ОмМ−ОмΛ,
которое может служить мерой кривизны: если
ОмК= 0
Вселенная плоская, если
ОмК< 0
кривизна положительна, и если
ОмК> 0
кривизна отрицательная. Мы можем записать эти величины в терминах их современных значений (обозначенных нижними индексами «
0
") следующее:
рр"="рР , 0а− 4,рМ"="рМ, 0а− 3,рΛ"="р, 0 _,
где
а
масштабный коэффициент с текущим значением
а = 1
, так что
Омр"="ОмР , 0ЧАС20ЧАС2а− 4,ОмМ"="ОмМ, 0ЧАС20ЧАС2а− 3,ОмΛ"="Ом, 0 _ЧАС20ЧАС2.
Из уравнений Фридмана мы также находим ( подробности см.
в этом посте ), что
ЧАС2"="ЧАС20(ОмР , 0а− 4+ОмМ, 0а− 3+ОмК, 0а− 2+Ом, 0 _) ,
так что
ОмК( а ) =ОмК, 0а− 2ОмР , 0а− 4+ОмМ, 0а− 3+ОмК, 0а− 2+Ом, 0 _.
Отсюда мы узнаем следующее:
- ЕслиОмК, 0= 0
, затемОмК≡ 0
. То есть, если сегодня Вселенная точно плоская, она всегда была плоской и всегда будет.
- Кака → ∞
, терминОм, 0 _
доминирует, так чтоОмК→ 0
. Другими словами, еслиОмК, 0≠ 0
, кривизна Вселенной в будущем уменьшится до нуля под влиянием темной энергии.
- Кака → 0
, терминОмР , 0
доминирует, и сноваОмК→ 0
. Так что в далеком прошлом кривизна Вселенной тоже была очень близка к нулю; это известно как проблема плоскостности и одна из причин существования инфляционной эпохи.
С|ОмК|
обращается в нуль в прошлом и будущем, оно должно было иметь максимальное значение в какой-то промежуточный момент времени, если сегодня оно не равно нулю. Этот максимум возникает, когда производнаяОмК( а )
равен нулю. После некоторой алгебры это сводится к решению
2ОмР , 0а− 4+ОмМ, 0а− 3− 2Ом, 0 _= 0.
Между прочим, это также момент, когда расширение Вселенной перешло от замедления к ускорению (т.е. когда
а¨= 0
, подробности по предыдущей ссылке). Использование значений
ОмР , 0≈ 0
,
ОмМ, 0≈ 0,3
и
Ом, 0 _≈ 0,7
, находим решение
ам≈(ОмМ, 02Ом, 0 _)1 / 3≈ 0,6 ,
и соответствующая кривизна
ОмК, м≈ОмК, 0а− 2мОмМ, 0а− 3м+ОмК, 0а− 2м+Ом, 0 _≈ОмК, 0ОмК, 0+ ( 3 / 2 )ОмМ, 0а− 1м≈ОмК, 0ОмК, 0+ 0,75.
Наблюдения показывают, что современная кривизна
− 0,02 <ОмК, 0< 0,02 ,
чтобы минимальная/максимальная кривизна была
− 0,027 <ОмК, м< 0,026.
Другими словами, кривизна Вселенной всегда была небольшой.
ДартПлэгас
пульсар