Как определить длину дуги эллипса?

Позволять$a=3.05,\ b=2.23.$Тогда параметрическое уравнение для эллипса имеет вид$x=a\cos t,\ y=b \sin t.$Когда$t=0$дело в$(a,0)=(3.05,0)$, начальная точка дуги на эллипсе, длину которого вы ищете. Теперь важно понять, что параметр$t$не является центральным углом, поэтому вам нужно получить значение$t$что соответствует верхнему концу вашей дуги. На этом конце у вас есть$y/x=\tan 50$(градусы). И с точки зрения$t$у вас есть$y/x=(b/a)\tan t$. Решение для$t$затем дает

[примечание. Я бы предложил здесь использовать радианы, заменив$50$к$5\pi/18.$]

Для длины дуги используйте общую формулу интегрирования$\sqrt{x'^2+y'^2}$для$t$в желаемом диапазоне. В твоем случае$x'=-a \sin t,\ y'=b \cos t$, так что вы интегрируете

* Когда я сделал это численно на Maple, я получил примерно$2.531419$для длины дуги.

Вы можете вычислить это как

используя неполный эллиптический интеграл второго рода $E(\varphi\,|\,m)$. В Mathematica-Syntax (и подходит для Wolfram Alpha ) это можно записать как

2.23*EllipticE[ArcTan[3.05/2.23*Tan[50°]],1-(3.05/2.23)^2]

Я адаптировал это из этого поста , в котором исследуется обратная задача (данная длина дуги, поиск угла), но попутно рассматривается и это направление проблемы. Как отмечено там, это преобразование угла будет работать только для первого и последнего квадранта. В противном случае либо отрегулируйте угол, либо посмотрите в этом посте альтернативную формулу, которую можно использовать вместо нее.

С еще несколькими цифрами точности ответ возвращается как$2.5314195265536624417$что по существу соответствует обоим другим ответам здесь. Конечно, печатать такое количество цифр в ответе — очень плохой стиль, если вводятся только два десятичных знака. Это показывает, что численное интегрирование Юрки немного менее точно, чем то, что сделал coffeemath, но даже он теоретически должен был округлить в другом направлении.

Обратите внимание, что приведенная выше формула работает только для$-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2$. Для$\frac\pi2<\theta<\pi$результат$\tan^{-1}$будет представлять$\theta-\pi$поэтому, чтобы исправить это, вы можете добавить$\pi$к этому результату. Аналогично для$-\pi<\theta<-\frac\pi2$где нужно вычесть$\pi$из$\tan^{-1}$результат. Вообще говоря, вам нужен первый вход в$E$быть углом в том же квадранте, что и$\theta$, добавляя целые кратные$\pi$как надо.

Выполнение расчета Mathematica. Тот же результат, что и у coffeemath (+1)

In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t,0,1.02051}]
Out[4]= 2.53143

Кажется, некоторое время назад я нашел это асимптотическое приближение из эллиптического интеграла Якоби второго рода. Это не точно, но сходится точно для вырожденных случаев$b=0$(линии) и$b=a$(круги). Методы бесконечных рядов идеальны там, где требуется точность. Я предлагаю это только как любопытство. Последнее слагаемое, добавленное недавно, мало что дает, но обеспечивает сходимость окружностей. Предполагать$0\le b\le a$. Затем