Почему объекты следуют геодезическим в пространстве-времени?

Вы могли бы думать об этом так:

1) Возьмите свободную частицу, поместите ее в какую-то точку пространства-времени и дайте ей развиваться.

2) Представьте, что движение не является геодезическим, т.е.$a_\mu\equiv v^\nu v_{\mu;\nu}\neq 0$, или, другими словами, ускорение не равно нулю. Примечание: мы знаем, что$a_\mu v ^\mu = 0$, или 4-ускорение нормально к 4-скорости.

3) Представьте, что вы и есть та самая частица, то есть находитесь в той системе отсчёта, где$v^\mu=(0,0,0,1)$. Поскольку 4-ускорение и 4-скорость ортогональны, вы все равно должны «видеть» ненулевой 3-вектор ускорения в этом кадре. Я не буду подробно останавливаться на этом виде, но если вы напишете уравнения движения пробных частиц, находящихся вокруг вас, вы увидите, как они ускоряются в направлении$\bf{a}$. Я имею в виду главу о сопутствующих системах отсчета.

Теперь изюминка. Поскольку инерционная масса эквивалентна пассивной гравитационной массе, вы никогда не сможете различить, стоите ли вы на месте или движетесь в гравитационном поле. Но если вы видите появляющееся 3-ускорение, то вы действительно можете отличить, понимая, что вы не стоите на месте. Отсюда противоречие.

Итак, тот факт, что все движется по геодезическим, тесно связан с принципом эквивалентности.

То, что это работает для тестовой массы , по сути является постулатом, который, как указано в ответе Алексея Бобрика , связан с принципом эквивалентности.

С другой стороны, предполагается, что это поведение на самом деле может быть продемонстрировано как прямое следствие уравнений Эйнштейна для физических масс . Однако, чтобы доказать это, необходимо действительно решить полные уравнения Эйнштейна, а прогресс в этом направлении, насколько мне известно, неполный. Ниже приводится предвзятый (и, конечно, неполный) отчет о некоторых из них.

Одна из первых атак на проблему исходила от самого Эйнштейна. В совместной работе Инфельда и Хоффмана точечная частица трактуется как точка (Дирак$\delta$) сингулярность в пространстве-времени. Уравнение Эйнштейна записано и расширено в ньютоновском пределе. Показано, что в результирующем расширении ряда первый член соответствует геодезическому движению, а второй член дает первую релятивистскую поправку (которую можно использовать для объяснения прецессии перигелия).

Проблема была снова поднята Герохом и Джангом в 1975 году. В этой статье материя рассматривается просто как тензор энергии-импульса. То есть считается, что материя представлена ​​симметричным бездивергентным двумерным тензором (правая часть уравнения Эйнштейна), удовлетворяющим некоторым энергетическим условиям. Основной результат этой статьи состоит в том, что если$\gamma$кривая пространства-времени такая, что для каждой окрестности$U$из$\gamma$, существует симметричный бездивергентный двумерный тензор, обращающийся в нуль вне$U$и все же не исчезает повсюду, то$\gamma$является времениподобной геодезической. ( Для дальнейших комментариев следует также ознакомиться с этой статьей Уэзеролла .)

Теорема Героха-Янга была пересмотрена и обобщена Элерсом и Герохом в 2004 году. Интересно отметить, в качестве побочного замечания, что аналог теоремы Героха-Янга также верен в теориях гравитации Ньютона-Картана; этот результат из-за Weatherall .

Другой подход к проблеме был взят DMA Стюартом. Он рассмотрел конкретную модель материи (в его случае полулинейное волновое уравнение, которое, как известно, допускает солитонные решения) и показал, что солитоны в гравитационно-связанной теории движутся по времяподобным геодезическим. Соответствующими ссылками являются эта статья и другая статья за 2004 год. (Предупреждение: в обеих задействованы большие дозы теории PDE.)

Еще иную точку зрения высказали Гралла и Вальд . В этой статье они рассмотрели точечную частицу как скейлинговый предел семейства метрик, соответствующих решениям уравнений Эйнштейна, обладающего когерентным телом или черной дырой, и вывели уравнение движения для предельной частицы. Точку зрения поддержал и Ива Ставров , где были построены исходные наборы данных, порождающие такое семейство. В некотором смысле этот метод является строгим аналогом оригинальной работы Эйнштейна-Инфельда-Хоффмана, упомянутой выше.

Примечание : Любые упущения из вышеизложенного представляют пределы моих собственных знаний; вполне вероятно, что существуют и другие крупные работы, касающиеся геодезической гипотезы, с которыми я не знаком. К сожалению, фраза «геодезическая гипотеза» имеет два различных значения в теоретической физике, о которых мне известно. Одним из них является вышеизложенное в общей теории относительности. Другой относится к гипотезе (принадлежащей М. Ф. Атия и Н. С. Мантону) в физике высоких энергий, что динамика солитонов может быть описана геодезическими на некотором пространстве модулей решений. Так что это может быть немного запутанным для поиска литературы.

Это связано с тем, что Эйнштейн назвал «самой счастливой мыслью в моей жизни», что для наблюдателя, свободно падающего с крыши дома, гравитационное поле не существует.

Если бы мы могли подобрать такую ​​систему координат и подходящее определение производной, чтобы ускорение (производная скорости) было для этого случая равно нулю, то ощущения человека в свободном падении соответствовали бы математике.

ГР делает эту работу. Система координат определяется метрическим тензором, а уравнение геодезической есть не что иное, как результат обнуления ковариантной производной 4-скорости.

Если мы проведем аналогию из 4-мерного пространства-времени с 2-мерной поверхностью земли, изменение перспективы будет похоже на понимание того, что путешествие на самолете из Токио в Париж представляет собой кривую, если рассматривать ее в обычном атласе мира авиакомпаний. журнал. Но это «прямо», если мы соединим 2 города нитью на земном шаре.

Тот факт, что свободно падающая пробная частица (частица, влиянием которой на пространство-время можно пренебречь) в гравитационном поле движется по геодезической, может быть выведен (так же, как теорема математики) из принципа эквивалентности, который является гипотезой общая теория относительности.

Это все равно, что спрашивать, почему работает первый закон Ньютона. Сначала мы должны определить инерциальные системы отсчета, в которых работает первый закон Ньютона (текст из книги «Большие и малые » ).

• Инерциальная система отсчета — это система, в которой инерциальные тела остаются в покое или в равномерном движении.

В этом определении подразумевается, что инерциальные системы отсчета являются локальными. Другими словами, инерциальная система отсчета описывает только конечную область пространства-времени, в которой отклонение от состояния покоя или равномерного движения неизмеримо и им можно пренебречь. Размер этой области зависит от точности измерения, но стоит отметить, что секунда времени соответствует световой секунде расстояния. С точки зрения обычных временных масштабов местный относится к довольно коротким интервалам времени.

Инерциальный объект, находящийся в свободном падении, следует локально прямолинейному пути в инерциальной системе отсчета вдоль направления его 4-скорости в пространстве-времени.

Геодезическая определяется параллельным переносом вектора в заданном им направлении. Таким образом, 4-скорость определяет геодезическую в пространстве-времени. Геодезическое движение — это просто формулировка первого закона Ньютона, согласно которому в инерциальной системе отсчета инерциальные объекты остаются в покое или в равномерном прямолинейном движении. Кривизна пространства-времени означает, что на больших расстояниях инерциальные объекты следуют изогнутым траекториям, подобно орбите Луны вокруг Земли.

В контексте лагранжевой формулировки ОТО этот факт следует из диффеоморфной инвариантности действия материи, поскольку это приводит к уравнениям сохранения$\nabla ^aT_{ab}=0$для тензора энергии-импульса напряжения$T_{ab}$, что при конкретизации для пыли с нулевым давлением и постоянной плотностью энергии$\rho$, куда$T_{ab}=\rho V_a V_b$, дает вам геодезические уравнения$V^a\nabla _a V^b=0$для мировых линий потока жидкости/пыли. Это только самая основная версия этого аргумента, которую можно сделать намного сильнее.

Последовательно, тот же аргумент, примененный к инвариантности диффеоморфизма действия Эйнштейна-Гильберта, дает вам тождество Бьянки$\nabla ^a G_{ab}=0$, куда$G_{ab}$является тензором Эйнштейна.

Эйнштейн в основном хотел создать модель Вселенной, в которой скорость С неизменна И причинность сохраняется. Все остальное вытекает из математики естественным образом.

Одна из теорий, которую можно построить, сохраняя C как инвариант и сохраняя причинность, — это построение специальной и общей теории относительности... Теории, в которой, среди прочего... Объекты должны следовать геодезическим линиям в пространстве-времени... И если это модель когда-нибудь окажется полезной для нас, тогда это здорово, потому что теперь мы можем использовать ее для прогнозирования! А если нет, то, по крайней мере, мы знаем, что Вселенная не работает :P

Вот как работает наука: мы смотрим на то, как, вероятно, работает Вселенная, мы делаем некоторые предположения (например, что Вселенная, вероятно, детерминистична...) и формулируем наши аксиомы и постулаты, которые в конечном итоге создадут математическую модель Вселенной, которую мы пытаются аппроксимировать... Позже новое открытие или философская идея могут открыть нам что-то неожиданное, что затем нужно будет также попытаться объяснить в наших уже установленных теориях, и если мы не сможем, нам придется сделать новые те!

Насколько мне известно, у нас нет более «глубокой» причины того, почему объекты следуют геодезическим в пространстве-времени, кроме той математической модели, которую мы выбрали как наиболее подходящую для нашей Вселенной и экспериментов, которые мы проводим. а также наша интуиция и философские представления о реальности, кажется, указывают на это.

Может быть, Вселенная не детерминистична — это философская идея, но откуда нам знать? Все считают само собой разумеющимся, что это так, поэтому все пытаются создавать теории о мире, который является детерминированным (в отличие от мира, который не является таковым), поэтому спрашивать «почему» на эти вопросы все равно, что спрашивать «почему Вселенная детерминирована». - ну, мы не знаем , что это так, мы просто чувствуем , что это должно быть!

Мир теории относительности Эйнштейна возникает из-за необходимости сохранять C инвариантным (потому что это модель, которую мы хотели проверить) и поддерживать детерминизм или причинность. Так что все остальное просто вытекает из математики, которую создают эти (и другие) аксиомы... Мы пока не знаем более глубокой причины, почему все эти вещи такие, какие они есть!

Простота - это корень объяснения: кратчайшее расстояние между двумя точками (относительно отмеченными) в нашей всеобъемлющей сферической системе - это кривая и функция геодезического дизайна. Причина в том, что путь наименьшего сопротивления сводит потерю общей энергии к конечному числу, и, таким образом, полная содержащаяся энергия может быть равномерно распределена внутри системы...

Н/0 = е (п) {1 = 1}

Потому что все в космосе движется по прямым линиям до тех пор, пока на него не воздействует внешняя сила (гравитация), где оно все еще движется по прямым линиям вокруг массы объектов, вокруг которых оно вращается, которые были привлечены его гравитационным притяжением. Простой ответ прошу прощения за такой