Активные и пассивные преобразования

То, что вы написали, совпадает с тем, что пишет Пескин. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что если мы напишем «преобразованную» позицию$x'$в качестве$x' = \Lambda x$, то ваше первое уравнение может быть записано как

$\phi'(\Lambda x) = \phi(x)$

но это эквивалентно

$\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$

что совпадает с первым уравнением Пескина, которое вы записали. Ваше второе уравнение и второе уравнение Пескина эквивалентны. Вы можете показать это, используя определение$x'$плюс цепное правило частичного дифференцирования. Я могу добавить детали, если хотите, но я думаю, что это хорошее упражнение, чтобы понять.

Активный против пассивного

Соглашение, в котором мы определяем$\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$является активным соглашением, потому что преобразованное значение поля в преобразованной точке такое же, как непреобразованное значение поля в непреобразованной точке, так что это как если бы мы сохранили нашу систему координат фиксированной и преобразовали конфигурацию поля. Чтобы понять это, представьте температурное поле$T$в 2D-лаборатории и представьте, что лаборатория зафиксирована, но при этом все температурное поле вращается против часовой стрелки на один оборот.$R$получить температурное поле$T'$. Затем (рисунок помогает) новое температурное поле оценивается в точке, повернутой против часовой стрелки.$R x$должно быть таким же, как старое поле температуры, оцененное в невращаемой точке$x$, а именно$T'(R x) = T(x)$что то же самое, что$T'(x) = T(R^{-1} x)$

Пассивная конвенция — это та, в которой мы определяем$\phi'(x) = \phi(\Lambda x)$и имеет интерпретацию преобразования координат при сохранении фиксированной конфигурации поля. Попробуйте использовать аналогию с температурой, чтобы понять это.

В литературе существует много путаницы относительно так называемой активной и пассивной интерпретации преобразований, когда речь идет о скалярных полях. Однако эта терминология и соответствующая дихотомия берут свое начало в приложениях линейной алгебры (например, компьютерное зрение), где она более актуальна, а концепции более ясны. Статья в Википедии на эту тему делает этот момент очень ясным.

Преобразование векторных пространств:

Рассмотрим пространственное преобразование$T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$. Это можно интерпретировать как преобразование вектора$v = v_1 e_x + v_2 e_y + v_3 e_z \in \mathbb R^3$сохранение базиса фиксированным или преобразование исходного базиса$\{e_x,e_y,e_z\}$из$\mathbb R^3$сохраняя вектор$v$исправлено. Эти две линии интерпретации$T$идти под двумя именами.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{vector } v \text{ rotates} \left(T: v \mapsto v'=Tv \equiv v_1' e_x + v_2' e_y + v_3' e_z\right), \\ & && \text{basis }\{e_x,e_y,e_z\} \text{ remains unchanged}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{vector } v \text{ stays put}, \\ & && \text{basis rotates } \left(\{e_x,e_y,e_z\}\mapsto \{T^{-1}e_x, T^{-1}e_y, T^{-1}e_z\}\right). \end{aligned}$$

Из первой интерпретации$v = T^{-1}v'$, это следует из того$v = v_1' \tilde e_x + v_2' \tilde e_y + v_3' \tilde e_z$куда$\tilde e_x := T^{-1} e_x$,$\tilde e_y := T^{-1} e_y$а также$\tilde e_z := T^{-1} e_z$— преобразованные базисные векторы из второй интерпретации. Таким образом, исходный вектор$v$в повернутом основании$\{\tilde e_x, \tilde e_y, \tilde e_z\}$(с пассивной точки зрения) имеет точно такие же координаты$(v_1',v_2',v_3')$как повернутый вектор$v'$в исходной основе (активная точка зрения).

Преобразование скалярных полей

Эта дихотомия не очень полезна, когда речь идет о скалярных полях, и поэтому в литературе отсутствует каноническое определение этих понятий. Один из способов думать о них может быть таким, как joshphysicsнаписал пользователь @. Вот еще один способ, который не менее популярен. Скалярное поле — это карта с действительным знаком.$\phi : \Omega \subset \mathfrak{M}_4 \to \mathbb R$. Рассмотрим преобразование$T:\Omega \to \Omega' \subseteq \Omega$базовой области пространства-времени. Теперь можно представить себе вращающееся поле$\phi_A := \phi \circ T^{-1}: \Omega' \to \mathbb R$или поле с противоположным вращением$\phi_P := \phi \circ T: \Omega \to \mathbb R$визуализировать это преобразование. Два новых поля можно интерпретировать следующим образом.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{field configuration } \phi\big|_{\Omega'} : \Omega' \to \mathbb R \text{ has morphed into } \phi_A : \Omega' \to \mathbb R,\\ & && \text{leaving the spacetime domain } \Omega' \text{untouched}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{field configuration } \phi_P \text{ is simply } \phi \text{ acting on a rotated domain},\\ & && \text{which is to say, } \phi_P(x) = \phi(T(x)) \text{ where } T:\Omega \to \Omega', x \mapsto x'. \end{aligned}$$

Однако, в отличие от того, что joshphysicsможет показаться ответом @,$\phi_A$(или же$\phi'$) не обязательно определяет активное соглашение. Можно было очень хорошо видеть$\phi_A$с пассивной точки зрения:$\phi_A$может быть просто$\phi$действует на область, повернутую в противоположных направлениях, т. е.$\phi_A(x') = \phi(T^{-1}x')$куда$T^{-1}: \Omega' \to \Omega, x' \mapsto T^{-1}x'$. Сходным образом,$\phi_P$можно интерпретировать с точки зрения активной: здесь поле$\phi: \Omega \to \mathbb R$превратился в новое поле$\phi_P = \phi \circ T : \Omega \to \mathbb R$, выходя из области пространства-времени$\Omega$нетронутый.

Это должно сказать вам, что любое переопределение поля, полученное в результате преобразования пространства-времени, можно рассматривать как в активной, так и в пассивной интерпретации, и такие бессодержательные имена/интерпретации не имеют физической или математической ценности. На самом деле вам следует заботиться о том, как именно вы определили свои новые поля, а затем должно последовать все остальное, независимо от того, какова ваша ментальная картина.

Утверждение Пескина и Шредера состоит в том, что если вы выполняете активное преобразование

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x) \doteq \phi(\Lambda^{-1}(x)) \ \ (1)$$ затем градиент $\partial_{\mu}\phi$трансформируется как $$\partial_{\mu}\phi(x) \rightarrow (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x)$$ Вот явный пример - работа в $\mathbb{R}^2$с координатами $x^{\mu} = (\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$

Рассмотрим скалярное поле

$$\phi(x^{\mu}) = x^2 + xy$$ и активное преобразование (x, y), представленное матрицей $$\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu} = (\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix})$$ это представляет собой вращение на $\frac{\pi}{2}$, куда $\mu$помечает строку и $\nu$маркирует столбец. Векторы с верхними индексами, на которые он действует, будут представлены как векторы-столбцы. $x^{\mu} = (\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$. Обратной к нему является матрица $$({\Lambda}^{-1})^{\mu}_{\ \ \ \nu} = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix})$$ Новое поле после этого активного преобразования (1) равно $$\phi'(x^{\mu})=\phi(y, -x) = y^2-xy$$ Его градиент $$\partial_\mu \phi' = (-y, \ 2y-x) \ \ (2)$$ Обратите внимание, что, поскольку $\partial_{\mu}\phi$имеет более низкий индекс, мы представляем его вектором - строкой .

Теперь давайте посмотрим, что мы получим, если применим рецепт Пескина и Шредера для получения градиента нового поля:

Начнем с градиента старого поля

$$(\partial_{\mu}\phi)(x^{\nu})= (2x+y, \ \ x)$$ Затем мы, вместо того, чтобы оценивать его в $(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$, оцените его в $(\Lambda^{-1})^{\mu}_{\nu}x^{\nu} = (\begin{smallmatrix} y \\ -x \end{smallmatrix})$, давая $$(\partial_{\mu}\phi)((\Lambda^{-1})x)=( 2y-x, \ \ y )$$ Наконец, мы применяем $(\Lambda)^{-1}$поворот к вектору-строке $(2y-x, \ y )$давать $$(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x) =( -y, \ 2y-x )$$ Отметим, что в сочетании с $(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\ \ \mu}$а также $\partial_{\nu}\phi$факторы, поскольку $\partial_{\nu}\phi$имеет меньший индекс, а сжатие идет с индексом $\Lambda^{-1}$который представляет столбцы , матричное представление этой операции в нашем случае $$(2y-x, \ y )(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix})$$ Обратите внимание, что в первой версии этого ответа я допустил ошибку, представив этот шаг как умножение матрицы на вектор-столбец! (Спасибо @joshphysics за указание на это)