Значение общей координатной инвариантности: различение инерциальных и неинерциальных наблюдателей

Общая инвариантность координат не означает, что вы не можете отличить инерциальную систему отсчета от неинерциальной: вы можете. Это означает, что вы можете записать законы физики таким образом, чтобы они имели одинаковую форму в любой хорошей системе координат, где «хороший» означает что-то вроде «связанного с другой хорошей системой координат неособым дифференцируемым преобразованием». (Я понимаю, что это определение выглядит круговым: на самом деле это не так, поскольку вы можете загрузить все это с некоторыми заведомо хорошими наборами координат, когда вы определяете свое многообразие).

Так, например, представьте себе вращающуюся декартову систему координат (для обычной ньютоновской механики в плоском пространстве). Ну, законы физики здесь выглядят забавно: вещи не движутся прямолинейно в отсутствие сил по системе координат и так далее. Но мы можем ввести различные фальшивые факторы, «фиктивные силы» и т. д., и получить смысл.

Теперь представьте себе систему координат (опять же для ньютоновской механики), закрепленную в автомобиле, который бешено гоняет. Теперь дело обстоит еще хуже, потому что движение не является регулярным: факторы выдумки теперь довольно сложны. Но оказывается, что, приложив немного математической изощренности, мы можем написать законы физики таким образом, что они будут работать и в системе координат автомобиля: мы можем систематически описывать фальшивые факторы, чтобы их можно было выразить в любой системе координат, которую мы как до тех пор, пока это дифференциально связано с хорошим.

Все это кажется большой работой без какой-либо реальной выгоды: мы можем просто найти какую-нибудь хорошую простую систему координат и вернуться к ней, не так ли?

Нет, мы не можем. Мы можем , пока есть хорошая простая система координат. А в плоском пространстве-времени оно есть всегда (фактически это практически определение плоского пространства-времени). Но мы не будем иметь дело с плоским пространством-временем, мы будем иметь дело с искривленным пространством-временем. И для такого пространства-времени не существует глобально «хорошей» системы координат: действительно, может вообще не быть никакой глобальной системы координат , нам может понадобиться карта нескольких систем координат, каждая из которых покрывает только какой-то участок предмета. нас интересует (рассмотреть$S^2$(двумерная поверхность сферы) как канонический пример этого: на его карте нужно как минимум две системы координат).

Таким образом, общая ковариантность, также известная как общая инвариантность координат, определяет способ записи вещей, чтобы они работали в любой хорошей системе координат, а не только в каком-то привилегированном наборе особенно простых.

Извините за многословный ответ.

Хитрость заключается в том, что при переходе между двумя системами координат, движущимися неравномерно относительно друг друга, вы должны одновременно преобразовывать и значение гравитационной силы. Так как последнее ощущается всей материей повсеместно , то уравнения движения получаются правильными в обеих системах координат.

Таково содержание знаменитого примера с «лифтом»: если вы сидите в лифте, находящемся в свободном падении, скажем, в поле земного тяготения, все эксперименты, которые вы можете провести, дадут точно такие же результаты, как и в хорошем двигателе. старая ньютоновская инерциальная система отсчета.

Однако правильным утверждением будет не «невозможно отличить инерциального наблюдателя от неинерциального», а скорее «не существует такой вещи, как инерциальный наблюдатель» (= ни один эксперимент не может выделить класс выделенных наблюдателей). Сравните с аналогичными утверждениями для ньютоновской механики: «невозможно различить статического и нестатического наблюдателя» против «статических наблюдателей не существует».