Анионы только в пространственно-временных измерениях 2+1 — лучшее объяснение

Пожалуйста, позвольте мне сначала отослать вас к оригинальной статье Лейнааса и Мирхейма, в которой существование анионической статистики было впервые предсказано до ее фактического открытия. Все составляющие понимания особых свойств двумерного случая уже есть в этой старой статье, однако я попытаюсь облечь ее в более современную терминологию:

Переходя к полярным координатам центра масс, конфигурационное пространство двух скалярных одинаковых частиц в$\mathbb{R}^n$можно представить как:

$$\frac{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n}{\sim } = \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+\times \frac{S^{n-1}}{\mathbb{Z}_2}$$

Где:$\sim$отношение эквивалентности тождественных частиц,$\mathbb{R}^n$справа - координаты центра масс,$\mathbb{R}^+$- радиальная координата, а$\frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$- угловые координаты. Отношение эквивалентности, соответствующее обмену угловыми координатами, представляет собой просто отождествление противоположных точек на поверхности сферы, что объясняет фактор${\mathbb{Z}_2}$в знаменателе. Центр масс и радиальные координаты прозрачны для обмена, поэтому мы можем сосредоточиться на угловых координатах, которые на самом деле состоят из реальных проективных пространств:

$$RP^n = \frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$$

Эти пространства не просто связны, их фундаментальные группы можно легко вывести из стягиваемости замкнутых петель на сфере с отождествлением противоположных точек, как указано в вопросе:

$$\pi_1(RP^n ) = \mathbb{Z}_2, n>1$$

$$\pi_1(RP^1 ) = \mathbb{Z}$$

Обычный способ квантования на неодносвязном многообразии состоит в построении волновых функций на универсальном накрытии с соответствующими свойствами преобразования при обмене:

$$\psi(x^a) = e^{i\phi} \psi(x)$$

Где$x^a$является противоположной точкой$x$. Конечно, преобразование может быть только умножением фаз, потому что выбор точки или ее антипода не должен изменять математические ожидания наблюдаемых, поскольку обе точки соответствуют одной и той же физической точке на конфигурационном пространстве.

Более того, поскольку$S^n$тогда просто подключена карта$S^n \rightarrow RP^n$является накрывающей картой, поэтому$RP^n = \frac{S^n}{\pi_1(RP^n ) }$. Фазовое преобразование должно быть представлением$\pi_1(RP^n )$. В нашем случае, когда$n>2$,$\mathbb{Z}_2$имеет только двухфазное представление, тривиальное представление и знакопеременное представление.

Однако в двумерном случае мы можем выбрать представление$\gamma$в котором генератор$\Gamma$из$\mathbb{Z}$представлена ​​произвольной постоянной фазой$e^{i\phi}$, то представление произвольного элемента в$\mathbb{Z}$будет:

$$\gamma(\Gamma^n) = e^{in\phi}$$

Теперь, пожалуйста, помните, что в геометрической картине фундаментальной группы образующие представлены замкнутыми петлями, поэтому представление$\gamma$присваивает фазу каждому замкнутому циклу (таким образом, что закон композиции циклов отражается в умножении фаз). Это назначение можно описать как существование неэквивалентных квантований, соответствующих множеству отображений:

$$\mathrm{Hom}(\pi_1(RP^n ), U(1))$$

Когда$n>2$, это множество содержит только два класса (бозоны и фермионы), а когда$n=2$, это множество бесконечно.

Таким образом, будет набор возможных квантований, в каждом наборе уравнение угловой волны должно решаться с другим условием при обмене противоположными точками на сфере. Решение будет соответствовать другому типу частиц.

Лейнаас и Мирхейм решили задачу об идентичном двумерном изотропном гармоническом осцилляторе с преобразованием волновых функций с произвольной фазой при антиподальном отождествлении и обнаружили, что спектр зависит от коэффициента фазы преобразования.

Теперь, согласно классификационной теореме плоских связностей, каждому (проективному) представлению фундаментальной группы можно поставить в соответствие плоскую связность$A$так что:

$$\gamma(\Gamma) = e^{\int_{\Gamma} A_{\gamma}}$$

Эта связь существенна для построения квантовых операторов, соответствующих классическим функциям на фазовом пространстве по представлению Купмана - Ван Хова:

$$\hat{O}_{\gamma} = O - i \hbar X_{O} -A_{\gamma} (X_{O} )$$

Где$O$есть функция на фазовом пространстве,$\hat{O}_{\gamma}$- соответствующий квантовый оператор, и$X_O$— соответствующее гамильтоново векторное поле.

Кстати, когда пространство конфигурации$S^1$, эта плоская связь является знаменитой связью Ааронова-Бома.

Для дальнейшего ознакомления с классификацией неэквивалентных квантований см. следующие две статьи Н. П. Ландсмана и Доебнера Штовичека и Толара . На самом деле, первый автор (Ландсман) имеет оговорки (сноска 13 в статье) по поводу обычного объяснения с использованием параллельного переноса и предпочитает рассуждения об индуцированном представлении, которым я пытался следовать.