kitaev-honeycomb : невозможно получить петлю Уилсона в квадрате, чтобы получить +1

Я новичок здесь, мне нравится этот веб-сайт, и у меня есть некоторые трудности с оператором цикла Уилсона в сотовой модели Китаева.

Постановка задачи Модель Китаева ( Китай, 2006 является оригинальной статьей) состоит из спинов, находящихся в узлах решетки сотовой решетки с отдельными nn-связями для трех направлений, которые определены для связей. Оператор цикла Вильсона$w_p=\sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6$, где индексы$i \in\{1,...,6\}$указать$6$узлы решетки, участвующие в гексагональной петле (см. Рисунок).

В книге Янниса К. Пачоса (Введение в топологические квантовые вычисления, 2012 г.) автор утверждает, что$(w_p)^2=1$, который я пытаюсь найти сам. На самом деле это должно быть совсем не сложно, но я, к сожалению, застрял.

попытка решения Я пробовал следующее

$$(w_p)^2 = \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^x_1 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^y_2 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^z_3 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^x_4 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = - \sigma^y_5 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_6 \\ =-1$$

Где я тянул$\sigma_1$через первый, следующий$\sigma_2$и т. д. И я использовал$\{\sigma^\alpha_i , \sigma^\beta_j \}= 2 \delta_{i,j}\delta_{\alpha,\beta} I_2$(чтобы каждая замена неравных$\sigma$дает знак минус и$\sigma^\alpha_i\sigma^\alpha_i =I_2$).

Так что я получаю$(w_p)^2=-1$, это не то, что я хотел найти. Во всех текстах на эту тему говорится, что$w_p$действуя на выход конфигурации решетки$w_p=\pm1$что можно легко сделать из$(w_p)^2=1$(выражение я не понял).

Я предполагаю, что мои коммутационные соотношения неверны, но я не уверен. Кто может мне помочь? Заранее большое спасибо!

Лучший, Л