Почему спиновые корреляционные функции в моделях Изинга экспоненциально затухают ниже критической температуры?

Во-первых, обратите внимание, что, как вы говорите, двухточечная функция$\langle \sigma_i \sigma_j\rangle$не стремится к нулю, так как$\|j-i\|\to\infty$когда$T<T_{\rm c}$; а именно,

$$\lim_{\|j-i\|\to\infty} \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ = (m^*(T))^2,$$ где $m^*(T)=\langle\sigma_0\rangle^+$спонтанная намагниченность ( $+$верхний индекс указывает, что ожидание принимается в $+$состояние).

Итак, когда кто-то говорит, что корреляции затухают экспоненциально, когда$T<T_{\rm c}$, фактически речь идет об усеченных корреляционных функциях. Усеченная двухточечная функция определяется как

$$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ = \bigl\langle (\sigma_i - \langle \sigma_i\rangle^+) (\sigma_j - \langle \sigma_j\rangle^+) \bigr\rangle^+ = \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ - \langle \sigma_i\rangle^+ \langle \sigma_j\rangle^+.$$ Он измеряет, насколько коррелированы колебания в $i$и $j$являются. (В вероятностных терминах это просто ковариация между случайными величинами $\sigma_i$и $\sigma_j$.) Усеченная 2-точечная функция сходится к $0$при всех температурах $T$. Это общий факт, справедливый для чистых фаз любых моделей при любой температуре.

Теперь, возвращаясь к вашему вопросу, усеченные корреляции действительно экспоненциально быстро затухают в двумерной модели Изинга для всех$T\neq T_{\rm c}$.

Когда$T<T_{\rm c}$, вы должны думать об этом следующим образом: при низких температурах спины обычно принимают одинаковые значения (скажем,$+1$в$+$фаза), с редкими колебаниями. Один полезный способ взглянуть на эти флуктуации — взглянуть на конфигурации с геометрической точки зрения: начертите отрезок единичной длины, разделяющий каждую пару вершин ближайшего соседа, в которых спины принимают противоположные значения. Объединение этих отрезков образует контуры Пайерлса конфигурации.

Легко проверить, что энергетические затраты, связанные с каждым таким контуром, пропорциональны его длине. Также обратите внимание, что контуры дают полное описание конфигурации (если вы знаете, что находитесь в$+$фаза).

Какое отношение это имеет к экспоненциальному затуханию корреляций? Как упоминалось выше, усеченная двухточечная функция$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+$измеряет, как коррелируют колебания в$i$и$j$являются. Какое событие приведет к одновременному перевороту обоих спинов в$i$и$j$? Нетрудно убедиться, что это должно происходить, когда большой контур окружает одновременно вершины$i$и$j$. А именно, используя корреляционные неравенства, можно проверить, что

$$0\leq \langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ \leq {\rm Prob} (\text{there exists a contour surrounding both $i$ and $j$}),$$ где $+$Верхний индекс указывает, что вычисление выполняется в $+$фаза. Но вероятность события в правой части экспоненциально мала на расстоянии $\|j-i\|$.

Все это можно сделать строго. При достаточно низких температурах можно использовать методы расширения кластеров (это работает в любом измерении).$d\geq 2$). Подробное рассуждение вы можете найти, например, в теореме 5.27 в этой книге . В измерении$2$, это также можно доказать непертурбативно, либо с помощью явных вычислений, либо связав стоимость большого контура с поверхностным натяжением в модели; см., например, эту статью .

В качестве последнего замечания: приведенный выше аргумент предполагает, и вы можете сделать это строгим (см., например, доказательство расширения кластера, о котором я упоминал выше), что длина корреляции стремится к нулю, когда$T\downarrow 0$. Это связано с тем, что становится крайне маловероятным наличие контура, окружающего две удаленные вершины, а колебания при очень низких температурах становятся по существу чисто локальными событиями, таким образом, происходящими (приблизительно) независимо в разных вершинах.