Атом водорода с точки зрения старой квантовой теории

Безусловно, можно составить уравнения траекторий в терминах квантовых чисел. Сначала мы находим общие эллиптические/круговые траектории классическим способом, а затем смотрим, дает ли нам правило квантования какие-либо ограничения.

Поработаем с полярными координатами в плоскости эллипса, используя координаты$r$и$\theta$, с центром в ядре; вскоре мы перейдем к трехмерным сферическим координатам. Учитывая ускорение вдоль$\mathbf{\hat{e}}_r$используя уравнение EL, мы имеем (принимая$\mu$как приведенная масса системы; если электрон имеет массу$m_e$а протон имеет массу$m_p$, затем$\mu=m_em_p/(m_e+m_p)$)

$$\frac{e^2}{r^2}=\mu\ddot{r}-\mu r\dot{\theta}^2,$$ где мы использовали силу обратных квадратов для ядра с одним протоном.

Вдоль$\hat{\mathbf{e}}_\theta$, у нас есть

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mu r^2\dot{\theta}=0.$$

Я не буду описывать весь процесс решения этих уравнений, но это не слишком сложно. Введем несколько переменных, возникающих либо для удобства, либо как константы интегрирования, и приведем решение:

• $p$– полный угловой момент системы;$\mu r^2\dot{\theta}=p$.
• $W$это полная энергия системы, если вы считаете, что центр масс покоится. Нам нужны отрицательные значения$W$, которые здесь указывают на связанные состояния.
• $u=1/r$.

$$u(\theta)=\frac{e^2\mu}{p^2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4\mu^2e^4}{p^4}+\frac{8\mu W}{p^2}}\sin\theta$$

Оказывается, это уравнение эллипса с фокусом в начале координат; малая и большая полуоси$a$и$b$даны

$$a=-\frac{e^2}{2W};\quad b=\frac{p}{\sqrt{-2\mu W}}$$

Мы еще не показали, что только определенные значения$a$и$b$разрешены, так как в настоящее время нет ограничений на$W$и$p$. Но если мы сможем найти разрешенные энергии и полные импульсы, сделать замену и получить желаемую форму описания эллипса будет тривиально.

Чтобы наблюдать квантование, мы можем применить правило Вильсона-Зоммерфельда для каждой из сферических координат$r$,$\vartheta$, и$\varphi$(подумайте, как это соотносится с предыдущей системой$r$и$\theta$; это актуально). У нас есть

$$\begin{align} \oint \mathrm{d}r\,p_r&=n_r h\tag{A}\\ \oint \mathrm{d}\vartheta\,p_\vartheta&=n_\vartheta h\tag{B}\\ \oint \mathrm{d}\varphi\,p_\varphi&=n_\varphi h\tag{C} \end{align}$$

Уравнение C является самым простым.$p_\varphi$является константой, как описано в разделе «Ротатор» на странице, на которую есть ссылка в вопросе; введем магнитное квантовое число$m$определить проекцию углового момента на$xy$самолет как

$$p_\varphi=m\hbar;\quad m=\pm1,\pm2,\dots$$

Есть несколько способов решить уравнение B; Мне легко вернуться к нашему старому формализму с$\theta$которые мы использовали при нахождении формы орбит; он напоминает подход, использованный в статье, на которую ссылается Г. Смит в комментариях ( https://arxiv.org/abs/1605.08027 ). Мы знаем$p_\theta$- полный угловой момент, поэтому

$$p_\theta=p=p_\vartheta+p_\varphi.$$

Введем азимутальное квантовое число$\ell$;

$$\oint\mathrm{d}\theta\,p_\theta=\ell h\Rightarrow p=\ell\hbar;\quad \ell=1,2,\dots$$

Таким образом, мы успешно применили квантование$p$; мы надеемся, что уравнение A поможет нам решить$W$. Это относительно долгий процесс; мы повторно используем наши старые определения$u$и$\theta$,

$$p_r\mathrm{d}r=\mu\dot{r}\mathrm{d}r=\frac{p}{u^2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}u\right)^2\mathrm{d}\theta$$ Используя наше выражение для$u(\theta)$и применяя уравнение A, мы имеем очень хлопотную $$p\epsilon^2\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\,\frac{\cos^2\theta}{(1+\epsilon\sin\theta)^2}=n_rh,$$ где мы представили$\epsilon=1-\frac{b^2}{a^2}$.

К счастью, у нас есть довольно аккуратное решение этой проблемы:

$$p\left(\frac{1}{\sqrt{1-\epsilon^2}}-1\right)=n_r\hbar$$

Сравним это с нашей формулой для$p$с точки зрения$\ell$найти зависимость между параметрами$a$и$b$эллипса и решить для$W$. Это дает нам

$$W_{n_r,\ell}=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2(n_r+\ell)^2}.$$

Вы можете подставить эти выражения для$W_{n_r,\ell}$и$p_\ell$в выражение для$u(\theta)$чтобы найти уравнения желаемых эллиптических орбит.

---

Теперь мы можем проанализировать этот результат, чтобы ответить на вторую часть вопроса. Ясно, что вырождение орбит при одном и том же$n_r$и$\ell$подразумевается разрешенными энергиями. Есть пара других важных визуальных замечаний относительно формы орбит:

• Обычно у нас эллиптические орбиты; они круглые, когда$n_r=0$.
• $m$указывает на наклон орбиты в пространстве: его абсолютное значение определяет угол между плоскостью орбиты и$xy$плоскости, а знак говорит вам, по часовой стрелке или против часовой стрелки.

---

Ссылка

Введение в квантовую механику Полинга и Уилсона