Ожидаемое значение 1/r31/r31/r^3 в состоянии 2p2p2p кулоновского потенциала

У меня возникли трудности с подсчетом этого количества.

У нас есть электрон в состоянии 2p атома водорода (кулоновский потенциал). В качестве предварительного шага к нахождению разницы энергий между$2p_{1/2}$и$2p_{3/2}$состояний, я пытаюсь найти ожидаемые значения для$\vec S \cdot \vec L$и$\frac 1{r^3}$.

Однако, когда я пытаюсь вычислить$<\frac 1{r^3}>$, я столкнулся с несходящимся интегралом.

Если я правильно понимаю правила со значениями ожидания, оператор для$<\frac 1{r^3}>$было бы$\frac 1{r^3}$; таким образом,

$$<\frac 1{r^3}>=\int \Psi^* \frac 1{r^3} \Psi dV$$

по всему пространству. Однако в состоянии 2p радиальная волновая функция имеет вид$\Psi = C r e^{-r/2a}$где$a$— радиус Бора, а C — набор констант. Вставка этого в приведенное выше уравнение дает мне

$$<\frac 1{r^3}> = 4 \pi^2 C^2\int_0^\infty \frac 1r e^{-r/2a} dr$$

который не сходится в$0$.

Любая помощь будет оценена по достоинству.