Базис когерентного состояния (релятивистского) пространства Фока частиц

Для нейтральной скалярной бозонной частицы с массой$m$, я рассматриваю фоковское пространство с ортонормированным базисом импульсов собственных состояний

$$\begin{equation}\label{Fock-p-states} \left|p_1p_2\cdots p_n\right\rangle=\frac{1}{n!}\sum_\sigma\left|p_{\sigma(1)}\right\rangle\otimes\left|p_{\sigma(2)}\right\rangle\otimes \cdots\otimes\left|p_{\sigma(n)}\right\rangle\,, \end{equation}$$ с определенным числом частиц от 1 до$\infty$, вместе с вакуумным состоянием$|0\rangle$; сумма по всем перестановкам$\sigma$частиц. Нормализация должна иметь вид$\langle p'|p\rangle=2E\delta(\vec{p}-\vec{p}')$, где$E=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}$, для$\langle p'|p\rangle$быть лоренц-инвариантным.

Я определяю оператор создания$\hat{a}^\dagger(p)$как

$$\begin{equation*} \hat{a}^\dagger(p)|p_1p_2\cdots p_n\rangle=\sqrt{n+1}|p_1p_2\cdots p_np\rangle\,, \end{equation*}$$ и согласованное состояние$|a\rangle$как собственное состояние оператора уничтожения$\hat{a}(p)$с собственным значением$a(p)$для всех возможных$p$: $$\begin{equation*} \hat{a}(p)|a\rangle=a(p)|a\rangle\:\:\:\forall p\,. \end{equation*}$$ Набор$\{|a\rangle\}$всех когерентных состояний, таким образом, строится через функционал ($\langle 0|a\rangle\equiv a_0$фиксируется нормализацией) $$\begin{equation*} a(p)\mapsto|a\rangle=a_0|0\rangle +\frac{a_0}{\sqrt{n!}}\sum_{n=1}^\infty\int\!\!\bar{d}^3\!p_1\cdots\bar{d}^3\!p_n a(p_1)\cdots a(p_n)|p_1\cdots p_n\rangle\,,\hspace{5pt} \int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2<\infty\,, \end{equation*}$$ с когерентным состоянием для каждого элемента множества$A$всех комплексных функций, интегрируемых по модулю-квадрату$a(p)$; и $$\begin{equation}\label{square-integrable} \langle b|a\rangle=b^*_0a_0\exp\!\int\!\!\bar{d}^3\!p\,b^*(p)a(p)\,. \end{equation}$$ Интегрирование выполняется с лоренц-инвариантным элементом импульса $$\begin{equation*} \bar{d}^3\!p_i\equiv\frac{d^3\!p_i}{2\sqrt{\vec p_i^2+m^2}} =\frac{d^3\!p_i}{2E_i}\,. \end{equation*}$$

Теперь вопрос в том, если$\{|a\rangle\}$есть базис, надполный базис фоковского пространства; точнее, если имеется подходящее определение меры$\mathcal{D}a$комплексной функции, интегрируемой по квадрату модуля$a(p)$дающий функциональный интеграл

$$\begin{equation}\label{identity-alpha} \int_A\!\!\mathcal{D}a|a\rangle\langle a|=\hat{1}\,, \end{equation}$$ с$|a\rangle$нормализовано до$1$, т.е.$|a_0|^2\exp\int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2=1$. В импульсном базисе это переводится в $$\begin{equation}\label{identity-alpha-p} \delta_{\!mn}\sum_\sigma\prod_i2E_i\delta(\vec{p}_i-\vec{p}'_{\sigma(i)}) =\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}a(p_1)\cdots a(p_n)a^*(p'_1)\cdots a^*(p'_m)\,; \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{identity-alpha-0} 1=\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}\,,\:\:m=n=0\,. \end{equation}$$