Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

Question

Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

зооби

Учитывая пространство состояний $|\rangle$ , $|x\rangle$ , $|x,y\rangle$ , с такими операторами создания, как $\hat{\phi}(x)|y,z\rangle=|x,y,z\rangle$ для создания частицы в позиции $x$ и так далее.

Как это связано с интегралами по траекториям?

например

Δ (Икс, 0; у, т) "=" \int ф (Икс, 0) ф (у, т) опыт (я С [ф]) Д ф

$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$

Как мы можем получить это, используя операторы создания и уничтожения?

Я попытался установить $|\rangle = \Psi_0[\phi]$ для некоторого основного состояния, но $a^+(x)\Psi_0[\phi] \neq \phi(x)\Psi_0[\phi]$ так что тогда я застрял. Кроме того, потому что тогда я бы получил основное состояние внутри интеграла по путям, что было бы неправильно.

Редактировать

Позвольте мне немного пояснить.

Скажем, у вас есть волновой функционал $\Psi[\phi,t]$ которое удовлетворяет второму квантованному уравнению Шредингера:

я \frac{д}{д т} Ψ [ф, т] "=" (- \frac{{дельта}^{2}}{дельта ф (Икс)^{2}} - \nabla ф (Икс)^{2} + м^{2} ф (Икс)^{2}) Ψ [ф, т]

$i\frac{d}{dt}\Psi[\phi,t] = \left(-\frac{\delta^2}{\delta\phi(x)^2}-\nabla \phi(x)^2 +m^2\phi(x)^2\right) \Psi[\phi,t]$

и имеет основное состояние вида:

Ψ_{0} [ф] "=" опыт (\int ф (Икс) с (Икс - у) ф (у))

$\Psi_0[\phi] = \exp\left( \int \phi(x)s(x-y)\phi(y) \right)$

Это вакуумное состояние $|>$

Теперь я хочу найти пропагатор Фейнмана. Итак, я хочу что-то вроде:

Δ (Икс, 0; у, т) "=" \int Ψ [ф_{0}] Φ [ф_{т}] опыт (я С [ф]) Д ф

$\Delta(x,0;y,t) = \int \Psi[\phi_0]\Phi[\phi_t] \exp(i S[\phi] ) D\phi$

для некоторых конкретных волновых функционалов. Но я хочу найти одно состояние частицы для ввода. Если я задаю $\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ например, тогда я получаю основное состояние внутри интеграла, а это не то, что я хочу. Корректно ли разложить волновой функционал в виде:

Ψ [ф, т] "=" (ψ_{т} + \int ψ_{т} (Икс) ф (Икс) д {Икс}^{3} + \int ψ_{т} (Икс, у) ф (Икс) ф (у) д {Икс}^{3} д у^{3} + . . .) Ψ_{0} [ф]

$\Psi[\phi,t] = \left(\psi_t + \int \psi_t(x)\phi(x)dx^3 + \int \psi_t(x,y)\phi(x)\phi(y) dx^3 dy^3+...\right)\Psi_0[\phi]$

где термы соответствуют состояниям $|x,y,..;t>$ . Или я должен использовать такие операторы, как $a^+(x)$ где гамильтониан:

ЧАС "=" \int {а^{+} (Икс), а^{-} (Икс)} д {Икс}^{3}

$H=\int\{a^+(x),a^-(x)\}dx^3$

и

а^{\pm} (Икс) "=" \frac{дельта}{дельта ф (Икс)} \pm \int с (Икс - у) ф (у) д у^{3}

$a^\pm(x) = \frac{\delta}{\delta \phi(x)} \pm \int s(x-y) \phi(y) dy^3$

Как бы я ни смотрел на это, я всегда получаю основное состояние в интеграле, а не просто:

Δ (Икс, 0; у, т) "=" \int ф (Икс, 0) ф (у, т) опыт (я С [ф]) Д ф

$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$

смотри вот это просто $\phi(x)$ нет $\phi(x)\Psi_0[\phi] =\hat{\phi}(x)|>$ . Что я делаю не так? Как я могу избавиться от основного состояния из интеграла?

Редактировать 2

Единственное, о чем я могу думать, так это о том, что основное состояние — это не то же самое, что состояние отсутствия частиц. Если состояние отсутствия частиц $\Psi_{NP}[\phi]=const$ тогда я думаю, что это решает. Так ли это, или состояние отсутствия частиц равно основному состоянию? Но что в таком случае делают операторы $a^\pm(x)$ соответствовать? Имеются ли в виду возбуждения в поле, а не рождение частиц?

смягченный

Прежде всего

a, a^{†}

$a,a^{\dagger}$ создавать и уничтожать частицы с импульсом

k

$k$ , никаких подробностей о должности не приводится:

a^{†} | 0 ⟩ = | k ⟩

$a^{\dagger}|0\rangle=|k\rangle$ . Однако квантование в терминах операторов рождения и уничтожения возможно только в некоторых частных (линейных) случаях. Подход с использованием интеграла по путям является общим и, по определению, не может быть восстановлен .

a, a^{†}

$a,a^{\dagger}$ назад. Корреляционные функции, однако, являются математическими ожиданиями в вакууме, и в этом отношении вы можете использовать любой способ их вычисления, сравнивая их оба.

Любопытный Разум

Я не уверен, что вы спрашиваете. Нет такого понятия, как «пространство амплитуд», у нас есть пространство состояний . Почему вы хотите видеть интеграл по путям «с операторами создания/уничтожения», учитывая, что они существуют только для свободных полей, но интеграл по путям должен быть общим объектом.

Любопытный Разум

Нет

| x, y, z; t ⟩

$\lvert x,y,z; t\rangle$ состояний, потому что QFT на самом деле не имеет оператора положения. Одночастичные состояния обычно представляют собой импульсные состояния или их суперпозиции. Что

Δ (x, 0, y, t)

$\Delta(x,0,y,t)$ должно быть? я тоже понятия не имею что

Ψ [ϕ_{t}] = ϕ_{t} (x) Ψ_{0} [ϕ_{t}]

$\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ должно означать, учитывая, что правая сторона зависит от

x

$x$ (и, таким образом, не является функционалом конфигурации поля), а левый - нет.

зооби

Δ (x, 0, y, t)

$\Delta(x,0,y,t)$ является пропагатором Фейнмана для перехода от (x, 0) к (y, t). Я не вижу ваших возражений против уравнения. Уравнение

x = 3

$x=3$ действителен, даже если RHS не зависит от

x

$x$ . Кроме того, вы можете преобразовать Фурье любые состояния импульса в состояния положения. Я не знаю, что вы имеете в виду, что нет состояний этой формы.

| x, y >

$|x,y>$ - амплитуда обнаружения частиц как в x, так и в y. Он симметричен для бозонов и антисимметричен для фермионов.

Любопытный Разум

Такого нет. Вы не можете преобразовать состояния импульса Фурье в состояния положения, потому что в КТП нет оператора положения. Это не QM, где у нас два оператора

x, p

$x,p$ с каноническими коммутационными соотношениями. У нас есть (четырех) оператор импульса, но в КТП нет оператора положения, см. этот ответ и этот ответ . То, что вы пытаетесь сделать, плохо определено.

зооби

Я не понимаю, о чем ты говоришь. Полевой оператор

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ и это каноническое сопряжение

\hat{π (x)}

$\hat{\pi(x)}$ являются позиционными операторами. Или вы можете расширить их с точки зрения

\hat{ϕ} (x) = \int e^{i x . k} a^{+} (k) d k + \int e^{- i x . k} a^{-} (k) d k

$\hat{\phi}(x) = \int e^{ix.k}a^+(k)dk +\int e^{-i x.k}a^-(k)dk$ Это не преобразование Фурье?

Любопытный Разум

Под «оператором положения» я имею в виду оператора

x

$x$ из которых ваши предполагаемые состояния

| x ⟩

$\lvert x \rangle$ являются собственными состояниями. Вы говорите о «пропагандисте Фейнмана, чтобы получить от

x, 0

$x,0$ к

y, t

$y,t$ ", но это означает, что должны быть состояния, в которых "частица

x, 0

$x,0$ " и "частица в

y, t

$y,t$ " во-первых. Вы должны определить эти состояния, чтобы вопрос имел смысл. Отсутствие оператора правильной позиции означает для меня, что вы не можете правильно определить такие состояния.

зооби

Я не понимаю твоего возражения. Посмотрите на en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles и посмотрите, где написано

| x_{1} x_{2} x_{3} >

$|x_1 x_2 x_3 >$ Почему ты продолжаешь говорить, что ничего подобного нет?

Любопытный Разум

Это состояния в квантовой механике , а не в квантовой теории поля .

зооби

Хорошо, если вы говорите так.

смягченный

Кроме того, не всегда верно, что можно расширить

ϕ (x)

$\phi(x)$ с точки зрения

a, a^{†}

$a, a^{\dagger}$ . На самом деле это верно только в некоторых частных случаях (в основном для свободных полей).

зооби

Ну, тем больше причин просто использовать

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ и его сопряжение. Во всяком случае, я видел, где была моя ошибка. Я перепутал основное состояние с состоянием отсутствия частиц. А я перепутал лестничные операторы энергетических уровней полей с операторами созидания.

Ответы (2)

Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

Прежде всего $a,a^{\dagger}$ создавать и уничтожать частицы с импульсом $k$ , никаких подробностей о должности не приводится: $a^{\dagger}|0\rangle=|k\rangle$ . Однако квантование в терминах операторов рождения и уничтожения возможно только в некоторых частных (линейных) случаях. Подход с использованием интеграла по путям является общим и, по определению, не может быть восстановлен . $a,a^{\dagger}$ назад. Корреляционные функции, однако, являются математическими ожиданиями в вакууме, и в этом отношении вы можете использовать любой способ их вычисления, сравнивая их оба.
Я не уверен, что вы спрашиваете. Нет такого понятия, как «пространство амплитуд», у нас есть пространство состояний . Почему вы хотите видеть интеграл по путям «с операторами создания/уничтожения», учитывая, что они существуют только для свободных полей, но интеграл по путям должен быть общим объектом.
Нет $\lvert x,y,z; t\rangle$ состояний, потому что QFT на самом деле не имеет оператора положения. Одночастичные состояния обычно представляют собой импульсные состояния или их суперпозиции. Что $\Delta(x,0,y,t)$ должно быть? я тоже понятия не имею что $\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$ должно означать, учитывая, что правая сторона зависит от $x$ (и, таким образом, не является функционалом конфигурации поля), а левый - нет.
$\Delta(x,0,y,t)$ является пропагатором Фейнмана для перехода от (x, 0) к (y, t). Я не вижу ваших возражений против уравнения. Уравнение $x=3$ действителен, даже если RHS не зависит от $x$ . Кроме того, вы можете преобразовать Фурье любые состояния импульса в состояния положения. Я не знаю, что вы имеете в виду, что нет состояний этой формы. $|x,y>$ - амплитуда обнаружения частиц как в x, так и в y. Он симметричен для бозонов и антисимметричен для фермионов.
Такого нет. Вы не можете преобразовать состояния импульса Фурье в состояния положения, потому что в КТП нет оператора положения. Это не QM, где у нас два оператора $x,p$ с каноническими коммутационными соотношениями. У нас есть (четырех) оператор импульса, но в КТП нет оператора положения, см. этот ответ и этот ответ . То, что вы пытаетесь сделать, плохо определено.
Я не понимаю, о чем ты говоришь. Полевой оператор $\hat{\phi}(x)$ и это каноническое сопряжение $\hat{\pi(x)}$ являются позиционными операторами. Или вы можете расширить их с точки зрения $\hat{\phi}(x) = \int e^{ix.k}a^+(k)dk +\int e^{-i x.k}a^-(k)dk$ Это не преобразование Фурье?
Под «оператором положения» я имею в виду оператора $x$ из которых ваши предполагаемые состояния $\lvert x \rangle$ являются собственными состояниями. Вы говорите о «пропагандисте Фейнмана, чтобы получить от $x,0$ к $y,t$ ", но это означает, что должны быть состояния, в которых "частица $x,0$ " и "частица в $y,t$ " во-первых. Вы должны определить эти состояния, чтобы вопрос имел смысл. Отсутствие оператора правильной позиции означает для меня, что вы не можете правильно определить такие состояния.
Я не понимаю твоего возражения. Посмотрите на en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles и посмотрите, где написано $|x_1 x_2 x_3 >$ Почему ты продолжаешь говорить, что ничего подобного нет?
Это состояния в квантовой механике , а не в квантовой теории поля .
Кроме того, не всегда верно, что можно расширить $\phi(x)$ с точки зрения $a, a^{\dagger}$ . На самом деле это верно только в некоторых частных случаях (в основном для свободных полей).
Ну, тем больше причин просто использовать $\hat{\phi}(x)$ и его сопряжение. Во всяком случае, я видел, где была моя ошибка. Я перепутал основное состояние с состоянием отсутствия частиц. А я перепутал лестничные операторы энергетических уровней полей с операторами созидания.

зооби · Answer 1

Я посмотрел на это . Что, кажется, дает больше подсказки.

Основное состояние можно записать так:

< 0 | ф >= \int^{η_{0} "=" ф} е^{я С [η]} Д η

$<0|\phi> = \int\limits^{\eta_0=\phi}e^{i S[\eta]} D\eta$

Функция перехода может быть записана как:

< ф | U (т, т^{'}) | ψ >= \int_{η_{т^{'}} "=" ψ}^{η_{т} "=" ф} е^{я С [η]} Д η

$<\phi|U(t,t')|\psi> = \int\limits^{\eta_t=\phi}_{\eta_{t'}=\psi}e^{i S[\eta]} D\eta$

Так:

Д (Икс - у) =< 0 | ф_{0} (Икс) ф_{т} (у) | 0 >=< 0 | ф_{т} > ф_{т} (Икс) < ф_{т} | U (т, т^{'}) | ф_{т^{'}} > ф (у) < ф | 0 >

$D(x-y) = <0|\phi_0(x)\phi_t(y)|0> = <0|\phi_t>\phi_t(x)<\phi_t|U(t,t')|\phi_{t'}>\phi(y)<\phi|0>$

"=" \int (\int^{η_{т} "=" ф_{т}} е^{я С [η]} Д η ф_{т} (Икс) \int_{η_{т^{'}} "=" ф_{т^{'}}}^{η_{т} "=" ф_{т}} е^{я С [η]} Д η ф_{т^{'}} (у) \int_{ψ_{т} "=" ф_{т}} е^{я С [η]} Д η) Д ф Д ψ

$= \int \left(\int\limits^{\eta_t=\phi_t}e^{i S[\eta]} D\eta \phi_t(x) \int\limits^{\eta_t=\phi_t}_{\eta_{t'}=\phi_{t'}}e^{i S[\eta]} D\eta \phi_{t'}(y)\int\limits_{\psi_t=\phi_t}e^{i S[\eta]} D\eta \right) D\phi D\psi$

"=" \int ф_{т} (Икс) ф_{т^{'}} (у) е^{я С [ф]} Д ф

$= \int \phi_t(x)\phi_{t'}(y) e^{iS[\phi]} D\phi$

Более или менее

зооби · Answer 2

Я полагаю, что ответ заключается в том, что основное состояние — это не то же самое, что состояние без частиц. Поэтому волновой функционал следует представить в виде:

Ψ [ф, т] "=" ψ_{т} + \int ψ_{т} (Икс) ф (Икс) д {Икс}^{3} + \int ψ_{т} (Икс, у) ф (Икс) ф (у) д {Икс}^{3} д у^{3} + . . .

$\Psi[\phi,t] = \psi_t + \int \psi_t(x)\phi(x)dx^3 + \int \psi_t(x,y)\phi(x)\phi(y) dx^3 dy^3+...$

ничего общего с основным состоянием. Где $\psi(x,y)$ например, это амплитуда для обнаружения частиц как по x, так и по y.

я верю $a^\pm(x)$ являются (де-)возбуждениями в поле при $x$ а не операторы рождения/уничтожения частиц.

Я думаю, в этом и заключалась путаница.

Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

зооби

смягченный

Любопытный Разум

Любопытный Разум

зооби

Любопытный Разум

зооби

Любопытный Разум

зооби

Любопытный Разум

зооби

смягченный

зооби

Ответы (2)

зооби

зооби

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Простое моделирование QFT - как это сделать

Вывод интеграла по путям соответствия оператора состояния в CFT

Уравнение Эйлера-Лагранжа движения квантовых полей в КТП

Почему временной порядок (а не пространственный)?

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга