Операторы, распределения и состояния в QFT

Прежде всего, я упомяну, что я понимаю (пожалуйста, поправьте, если не так):

  • Состояния являются векторами в гильбертовом пространстве, чтобы включить непрерывный спектр (и, следовательно, распределения), мы расширяем это пространство до оснащенного гильбертова пространства, тогда распределения, как и обычные состояния, являются векторами (в некотором представлении) в этом пространстве.
  • Операторы — это просто карта из векторного пространства в другое, включая пространство Rigged Hilbert.
  • The а ^ , а ^ † (обычные операторы создания/уничтожения) — это операторы в пространстве Фока, которые строятся из набора гильбертовых пространств Rigged (каждое из которых имеет разное количество частиц).

Итак, мои вопросы:

  1. Доза:

    а ^ ( Икс ) дельта ( Икс → − у → ) "=" ? дельта ( Икс → − у → ) а ^ ( Икс )
    выше, эти операторы должны действовать на это дельта-распределение так же, как они действуют на состояния, не так ли?

  2. Если выше верно, то я могу заменить а ^ любым другим оператором, например г / г Икс , то у нас есть производная от дельта-распределения, и приведенное выше соотношение неверно. Некоторые говорили мне, что предыдущий дифференциальный оператор и а ^ действуют на «разных пространствах», таким образом выше равенство верно для а ^ , но не для дифференциального оператора. Однако они не могли объяснить мне, почему они действуют на разных пространствах, хотя оба они просто операторы, (я понимаю, что г / г Икс уже записано в каком-то конкретном представлении, но мы всегда можем его изменить.), это становится еще более странным, если я сведу КТП к одной степени свободы и получу простые квантовые гармонические осцилляторы, в которых а ^ определяется указанным выше дифференциальным оператором (импульсом).

  3. В общем случае для произвольных операторов имеем очевидно:

    г г Икс А ^ Б ^ ≠ г г Икс А ^ ⋅ Б ^ + А ^ ⋅ г г Икс Б ^
    Итак, как в QFT мы можем использовать «интегрирование по частям», чтобы написать что-то вроде:
    ∫ г 3 Икс а ^ † ∇ 2 а ^ "=" ∫ г 3 Икс ∇ 2 а ^ † а ^
    (такие выражения можно найти в формулировке невзаимодействующего скалярного поля), если только мы не рассмотрим что-то вроде [ а ^ † ( Икс ) , ∇ Икс 2 ] "=" 0 , что не имеет смысла, если учесть, что ∇ 2 и а ^ † действуя на «разные пространства», а затем ∇ 2 можно перемещать как некоторую «константу» (как мне было предложено).

Заранее благодарю вас за разъяснение мне этих недоразумений.

1) да: а - операторнозначное распределение (q-число), и дельта есть распределение (c-число): они коммутируют. 2) нет: а и г / г Икс действуют на разные пространства: они не взаимозаменяемы (также п ^ ≠ − я г / г Икс , потому что п действует на ЧАС и г / г Икс действует на л п ). Тот факт, что оба а и г / г Икс являются операторами, не означает, что они действуют в одном и том же пространстве: подумайте об единичной матрице в 2 и 3 измерениях: они оба являются операторами, но они не взаимозаменяемы 3) что такое А и Б , и почему это так очевидно?
1) Как я обнаружил, погуглив, числа c, q - это старые обозначения Дирака, есть ли более современная причина строгости? и считается ли это аксиомой? 2) Почему не могу считать г / г Икс действует в гильбертовом пространстве? полноты недостаточно, чтобы быть интегрируемой с квадратом? в конце оба должны воздействовать на векторы состояния, если не то, что набла "делает" в третьем вопросе? 3) А , Б произвольные операторы, если я воздействую ими на какую-то функцию, то это отношение в общем случае заведомо неверно, а , а † ?

Ответы (1)

  1. The а , а † действовать на фоковском пространстве. Если вы напишете случайное дельта ( Икс → − у → ) не является ли оно ни элементом пространства Фока, ни оператором на нем - уравнение на самом деле не имеет смысла без дополнительного контекста. Однако, дельта является просто распределением по функциям пространства-времени, а не операторным, поэтому смысл а ( Икс ) дельта ( Икс − у ) очевидно, что это дает а ( у ) при интегрировании по Икс , независимо от порядка.

  2. В КТФ, а ( Икс ) является оператором на пространстве состояний, но г г Икс не является. Состояния не являются функциями пространства-времени, как в волновой механике обычной квантовой механики, они являются функционалами конфигураций поля, поэтому дельта дельта ф является оператором в пространстве состояний в определенном представлении, но производная по пространству-времени никогда им не является. Если вы сведете к гармоническому осциллятору, у вас не будет а ( Икс ) больше - у вас просто есть а , а то ваше фоковское пространство просто обычное л 2 ( р 3 ) . Фоковское пространство КТП это не то, это выражения в полях , а не в координатах пространства-времени.

  3. Ваше "очевидно" явно бессмысленно. Если А , Б не являются операторными функциями , то запись производной по пространству-времени перед ними не имеет никакого смысла. Если это операторные функции, то г г Икс не является оператором самого пространства состояний, и правило произведения, очевидно, верно.

Ваша основная путаница, похоже, связана с тем, на что действует производная пространства-времени. Он действует на функции пространства-времени , которые могут быть операторнозначными, но он не знает об этом, так как он не является оператором самого пространства состояний — КТП — это не квантовая механика, где у вас есть волновые функции.

Спасибо, это кажется немного яснее, но я не знаком с такими объектами, как «Операторные функции», о которых вы говорите, может быть, вы можете сослаться на какую-то книгу со строгим введением в QM / QFT (но не слишком строго) или, может быть, объяснить этих понятий немного, потому что классические книги не касаются этих вопросов, что меня только смущает, спасибо.
@TMS: функция с операторным значением - это именно то, что написано на банке: это функция р н → О ( ЧАС ) где О ( ЧАС ) — это алгебра операторов в вашем пространстве состояний. Там не так много, чтобы быть «знакомым», это точно так же, как оператор эволюции во времени U ( т ) которую вы также можете видеть как операторную функцию т ↦ U ( т ) , только вместо т у вас есть Икс как аргумент.
Операторы, распределения и состояния в QFT
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v