Вывод интеграла по путям соответствия оператора состояния в CFT

Вставка локального оператора означает умножение подынтегральной функции интеграла по путям на оператор с фиксированной позицией. Таким образом, вклад в интеграл по путям вносит только значение оператора в этой позиции. Если теперь предположить, что оператор является вставкой в ​​позицию$z=0$, который в данном контексте радиального квантования соответствует начальному моменту времени, он просто играет роль весового коэффициента. Концепция понятна из формул, которые вы записали: в первой у вас есть общий вид, где$t_i$остается произвольным, а во втором вы ограничиваете оператор определенной позицией$t_i=0$, поэтому "локализовать" его.

Что касается ссылки, я могу порекомендовать вам вторую главу Полчинского: в ней обсуждаются вставки как в общем контексте, так и в их приложении к радиальному квантованию и соответствию оператора/состояния.

Следующее должно было быть комментарием, а не ответом. Однако, поскольку комментарий был немного длинным, я пишу его в поле для ответа.

В случае теории поля состояния можно рассматривать как функции на пространстве граничных условий на пространственном срезе. Это так, потому что пространство граничных условий на пространственном срезе является конфигурационным пространством и (по определению канонического квантования) квантовые состояния являются функциями в конфигурационном пространстве.

Теперь, в случае теории поля в комплексной плоскости с радиальным направлением, принимаемым за направление времени, пространственные срезы имеют форму окружностей. Следовательно, квантовые состояния теперь являются функциями в пространстве граничных условий на окружности фиксированного радиуса. Мы можем выбрать любую окружность ненулевого радиуса для определения нашего квантового пространства.

Если обозначим через$H$наше пространство состояний, то интеграл по путям на кольце$A$с фиксированными граничными условиями на его внутренней и внешней граничных окружностях определяет карту

$$T_A : H\to H$$

Это утверждение первого интеграла в вашем вопросе. Имея состояние на внутреннем граничном круге, мы можем получить состояние на внешнем граничном круге, выполнив интеграл по путям.

Теперь вместо кольца рассмотрим диск. В этом случае у нас есть только одна граница. Если вставить локальный функционал$\mathcal{O}(\phi(0),\partial_{z}\mathcal{O}(0))$в начале координат и сделать интеграл по путям по всему диску, тогда мы, конечно, получим квантовое состояние в$H$(фиксация граничного условия, а затем выполнение интеграла по путям даст нам число. Таким образом, интеграл по путям даст функцию в пространстве граничных условий на границе диска, которая по определению является квантовым состоянием). Таким образом, интеграл по путям на диске$D$(скажем, единичного радиуса) с локальным функционалом, вставленным в начало координат, будет определять карту

$$T_{D}:\{\text{space of local functionals at the origin}\}\to H$$

Это справедливо для любой двумерной теории поля. Однако в случае конформной теории поля зависимость приведенного выше отображения от геометрии диска гораздо проще, чем в теории без конформной симметрии.

Существует словарь, переводящий формализм интеграла по путям в формализм оператора. Матричный элемент строки локальных операторов во временном упорядочении преобразуется в интеграл по путям с вставками полей, например

$$\langle \psi_2|\mathcal{T}\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]|\psi_1\rangle\rightarrow \int_{BC} \mathcal{D}\phi...\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]e^{iS}$$

с$BC$в качестве подходящего граничного условия и, возможно, весов при других граничных условиях.$BC$связаны с$|\psi_i\rangle$государства. Это функции$\mathcal{O}_i$должны явно зависеть от полей, в противном случае они являются простыми c-числами (можно положить вне интеграла по путям).

Теперь, когда у вас есть:

$$\psi[ \phi_f(x),t_f] = \int d\phi_i \int\limits_{\phi(0) = \phi_i}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \psi(\phi_i , 0)\rightarrow \int\limits_{no\,BC\,here}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0]$$

т.е. интеграл в$d\phi_i$может быть поглощен мерой, т. е. означает, что в точке нет граничного условия.$x=0$больше, потому что вы суммируете все возможные значения. Вес$\psi(\phi_i , 0)$можно рассматривать как функцию поля, оцененного в$x=0$, местный оператор оценивается в$x=0$.

Теперь вы можете определить настройку состояния$\Psi[\phi(0),0]=1$

$$|0\rangle \leftrightarrow \psi_0[ \phi(x),t] =\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\times 1$$

теперь для произвольного состояния у вас есть:

$$|\psi\rangle \leftrightarrow \psi[ \phi(x),t]=\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0] \leftrightarrow \Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

Каждое состояние$|\psi\rangle$может быть создан из локального оператора$\Psi[\phi(0),0]$действующий на$|0\rangle$состояние:

$$|\psi\rangle=\Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

Рассмотрим вакуумное состояние:

$$\Psi_0[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]\,.$$ Теперь рассмотрим действие на вакуум локальным оператором $O(0)$в происхождении. Локальный оператор в этом контексте является локальной функцией полей $\phi$, поэтому я напишу это как $O[\phi(0)]$. Результирующее состояние $$\Psi_O[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]O[\phi_i]\,.$$ Итак, теперь мы можем присоединить к волновой функции, которую вы написали, оператор $O$с помощью $O[\phi_i]=\psi(\phi_i,0)$.