Каков физический смысл коммутационных соотношений углового момента?

Краткое введение в лестницы

Как вы сказали, они лестничные операторы. Давайте избавимся от раздражающих$\hbar$установив его в единицу и называя их более систематически$L_{-1},L_0,L_1$вместо$L_-,L_z,L_+$.

Тогда коммутационные соотношения принимают равномерный вид

$$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$$

Если бы их было счетное множество, у нас была бы алгебра Витта , если бы был центральный заряд, то она стала бы алгеброй Вирасоро , но пока давайте остановимся на этих трех.

Теперь операторы лестницы должны поднимать и опускать вещи, точно так же, как подниматься и спускаться по лестнице. Все начинается с собственных векторов$\lvert l \rangle$из$L_0$, т.е.$L_0\lvert l \rangle = l \lvert l \rangle$. Теперь из коммутационных соотношений получаем, что

$$L_0(L_{-1})\lvert l \rangle = (l-1)(L_{-1})\lvert l \rangle \; \text{and} \; L_0(L_{1})\lvert l \rangle = (l+1)(L_{1})\lvert l \rangle$$

так$L_{1}$ поднимает вес _ $l$вектора на$1$, пока$L_{-1}$ уменьшает вес вектора на$1$.

Физическая важность

Всякий раз, когда вы видите подобную алгебру, это означает, что собственное значение$L_0$квантуется , так как лестничные операторы увеличивают/уменьшают вес дискретными шагами . Это означает, что в терминах естественных операций над векторным пространством, на котором существует представление этой алгебры, пространства, порожденные собственными векторами алгебры$L_0$при этом не различаясь натуральными числами не пересекаются . В частности, если вы знаете , что должно существовать состояние с наибольшим/наименьшим весом, из которого возникают все остальные путем применения лестничных операторов, вы знаете полный дискретный набор собственных значений$L_0$разрешено для рассматриваемой системы, и мы действительно можем найти все допустимые представления .

Алгебра, которую мы рассматриваем, на самом деле$\mathfrak{su}(2)$, который Ли интегрирует в универсальное покрытие$\mathrm{SU}(2)$ротационной группы$\mathrm{SO}(3)$, так что мы строим спинорные представления нерелятивистской КМ.

Техника наивысшего веса

Мы ищем унитарные, неприводимые представления$V$алгебры. Унитарность означает, что$L_n^\dagger = L_{-n}$, неприводимость в отсутствие подпредставления$W \subset V$.

Позволять$\lvert l \rangle$быть вектором старшего веса, т.е.$L_{1}\lvert l \rangle = 0$. Определите модуль Verma (не пытайтесь понять определение этого математика, если вы не готовы к серьезной математике)

$$\tilde{V}_l := \mathrm{span}\{L_{-1}^n\lvert l \rangle \vert n \in \mathbb{N}\}$$

Кроме того, унитарность требует, чтобы репутация, которую мы хотим получить, обладала положительно определенным скалярным продуктом. нормализовать$\langle l \vert l \rangle$и изучить векторы уровня 1 $L_{-1}\lvert l \rangle$:

$$\langle l \rvert L_1 L_{-1} \lvert l \rangle = 2l \overset{!}{\ge} 0$$

Так,$l < 0$находится вне игры. Если$l = 0$, затем$L_1(L_{-1}\lvert l \rangle) = 2l\lvert l \rangle = 0$, так$L_{-1}\lvert l \rangle$является вторым по величине вектором веса и генерирует подповторение$\tilde{V}_{-1} \subset \tilde{V}_0$. Мы можем получить неприводимое унитарное представление, установив

$$V_0 := \tilde{V}_{0} / \tilde{V}_{-1}$$

что является тривиальным спин-$0$представитель

Обобщение приведенного выше рассуждения приводит нас к утверждению, что n векторов уровня $\lvert v \rangle = L_{-1}^n\lvert l \rangle$иметь норму

$$\langle v \vert v \rangle = \prod_{i = 0}^{n-1} (2l - i)$$

который неунитарен для$l \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$и имеет нуль-векторы в противном случае. Нередуцируемые унитарные повторения обычно получаются

$$V_l := \tilde{V}_{l}/\tilde{V}_{-l-1} \; \text{with} \; l \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$$

Вывод

Только коммутационные соотношения (вместе с обычными условиями унитарности) показали нам, что спин/угловой момент ограничен полуцелыми и целыми числами. Можно, поразмыслив дальше, увидеть, что полуцелые повторения не вызывают повторений$\mathrm{SO}(3)$, а только из$\mathrm{SU}(2)$, и поэтому «истинный» угловой момент квантуется как целое число. Таким образом, квантование таких обобщенных зарядов (в нётеровом смысле) является естественным следствием коммутационного соотношения алгебры ассоциированной (лиевой) группы симметрии.