Почему мы получаем фальшивые значения полуоборота для орбитального углового момента, если решаем это алгебраически?

Если я правильно понял ваш вопрос, то ответ таков, что не все свойства оператора закодированы в его коммутационных соотношениях.

Если вам даны три оператора, называемые$L_1, L_2$, и$L_3$и сказали только, что они подчиняются коммутационным соотношениям$[L_i,L_j]=(i\hbar) \epsilon_{ijk} L_k$, можно было бы спросить, что (если вообще) они могут заключить об операторах или состояниях, на которые они воздействуют. Априори возможно , что нельзя сделать вывод об операторах, не предоставив их конкретную реализацию в некотором гильбертовом пространстве, но это, конечно, неверно; этой информации достаточно, чтобы установить существование оператора Казимира$L^2$, а также вывести все возможные собственные значения$L^2$и$L_3$что было бы согласовано с коммутаторами.

Но это не вся история. Конкретная реализация этих операторов содержит больше информации, чем одни только коммутационные соотношения. Когда мы определяем$L_i := (-i\hbar)\epsilon_{ijk}x_j \partial_k$который действует на некоторое подмножество$L^2(\mathbb R^3)$, то мы не только восстанавливаем коммутационные соотношения, с которых начали, но также обнаруживаем, что только целые значения$l$разрешается.

Мы не должны этому удивляться. Спектры, полученные «алгебраически», допускающие возможность полуцелых значений$l$- основаны на коммутаторах и только на коммутаторах. Другими словами, мы использовали коммутаторы для ограничения (примечание: не точно ) возможных спектров операторов. Конкретная реализация операторов содержит коммутационные соотношения, а также более подробную информацию о том, как оператор действует в гильбертовом пространстве. Поэтому вполне возможно, что такая реализация не исчерпывала бы алгебраически выведенные спектры, и это действительно так.

---

Между прочим, вам не нужно прибегать к волновому уравнению, чтобы увидеть это. Операторы углового момента, действующие на$\mathbb C^2$(спин 1/2) и те, которые действуют на$\mathbb C^3$(спин 1) подчиняются точно таким же коммутационным соотношениям, но имеют совершенно разные спектры; поэтому очевидно, что коммутационных соотношений недостаточно, чтобы рассказать вам все, что вам нужно знать о ассоциированных операторах.

Хорошо известно, что конечномерные иррепрезентации$V_{\ell}$алгебры Ли$so(3)$классифицируются по спину$\ell\in\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$. Чтобы исключить полуцелые представления для орбитального углового момента (ОУМ) алгебры Ли

$${\rm span}_{\mathbb{R}}(L_1,L_2,L_3)~\cong~ so(3),$$ следует использовать тот факт, что операторы OAM $$L_j~=~\sum_{k,\ell=1}^3\epsilon_{jk\ell}x^kp^{\ell}$$ реализуются в терминах операторов положения и импульса, которые, в свою очередь, удовлетворяют CCR . Подробности см., например, в моем ответе Phys.SE здесь .

$\def\cH{\cal H} \def\vL{\vec L} \def\vn{\vec n}$Я хотел бы ответить с другой точки зрения. Вы обнаружили, что собственные значения компонентов углового момента равны${1 \over 2}\,n\hbar\ (n \in \Bbb Z)$. Предположим, что ваша физическая система действительно имеет состояния со всеми этими собственными значениями. Удобно отделять целые собственные значения от нечетных полуцелых, вводя два гильбертовых пространства,$\cH_+$и$\cH_-$, первый содержит все собственные векторы с целыми собственными значениями (и их линейными комбинациями), последние собственные векторы с нечетными полуцелыми собственными значениями. Полное гильбертово пространство$\cH$будет прямая сумма

$$\cH = \cH_+ \oplus \cH_-.$$ Обратите внимание, что в общем случае собственные пространства, принадлежащие данному собственному значению, скажем,$L_z$- будет многомерным (даже бесконечномерным), так как ваша физическая система будет обладать другими наблюдаемыми, коммутирующими с$L_z$. Но это не повредит моему аргументу.

Причина моей записи заключается в следующем. Определять

$$R(\vn,\phi) = \exp\left(\!-{i \over \hbar}\,\phi\,\vn\cdot\vL\right)$$ где$\vn$единичный вектор,$\phi\in[0,2\pi]$. Это естественно интерпретировать$R$(который является унитарным оператором на$\cH$) как поворот на угол$\phi$вокруг ориентированной оси с единичным вектором$\vn$.

Изучим действие$R(\vn,2\pi)$. При действии на собственный вектор$L_z$с целым собственным значением$R(\vn,2\pi)$оставляет его неизменным, тогда как для нечетного полуцелого собственного значения собственный вектор умножается на$-1$. В обоих случаях состояние (вектор с точностью до фазового множителя) не изменяется, что является удовлетворительным. Из определения$\cH_+$,$\cH_-$, то же самое происходит для любого вектора в этих подпространствах, и это объясняет индексы$_+$,$_-$.

Но если бы нам пришлось рассматривать вектор, являющийся линейной суперпозицией одного из$\cH_+$и один из$\cH_-$мы получили бы неприятный результат: конечный вектор представлял бы состояние, отличное от начального. Таким образом, мы приходим к постулату, что таких суперпозиций не бывает. Насколько$\vL$обеспокоен тем, что мы в безопасности, так как эти операторы оставляют инвариантными$\cH_+$и$\cH_-$. Но наше предположение не является тривиальным, если принять во внимание другие наблюдаемые: мы требуем, чтобы все наблюдаемые нашей системы оставляли$\cH_+$и$\cH_-$инвариант. Это известно как правило суперотбора в честь Уика, Вайтмана, Вигнера.

Проще говоря, квантовая система может родиться в одном из двух возможных типов состояний, различающихся собственными значениями углового момента: либо в целочисленном, либо в нечетном полуцелом. Никакое внутреннее событие в эволюции igs не может изменить эту отметку. (Необходимо сказать «внутренняя», потому что взаимодействие может иметь такой эффект: подумайте, например, об атоме, теряющем электрон. Хотя это можно рассматривать как другую систему.)

Последнее замечание. Думая об атомах, обычно вводят множество угловых моментов. Орбитальные и спиновые, одного электрона или суммы нескольких электронов. Все они подчиняются одним и тем же коммутационным соотношениям и являются приемлемыми наблюдаемыми для всей системы, независимо от того, являются они константами движения или нет. Но$+$или$-$оценка атома зависит только от количества электронов, так как каждый из них вносит 1/2 спина. (Я пренебрегаю ядерным вращением, что не всегда разрешено.)