Каково значение разницы между квантовыми числами ℓℓ\ell и mℓmℓm_{\ell}?

Значение$m_{l}$является собственным значением оператора$L_{z}$определить, увидев действие этого оператора на собственное состояние$|~l,m_{l}>$или другими словами

$$L_{z} |~l,m_{l}> = m_{l} |~l,m_{l}>$$ Пока $l$связано с оператором полного углового момента $L$и он действует на то же собственное состояние, что и дает вам $$L^2 |~l,m_{l}> = l(l+1) |~l,m_{l}>$$ Отношения между двумя операторами задаются выражением $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 ~~~~\mbox{and}~~~~ \vec{L} = (L_x, L_y, L_z)$$ Собственные значения также связаны, и отношение, которое вы можете найти почти в любом учебнике по квантовой механике, имеет вид $$- l \leq m_l \leq l ~~~~\mbox{all of them interspaced by unity}$$

Представление о том, что электрон движется вокруг ядра атома, является упрощением.

Электрон не локализован, вся информация, которую вы можете иметь о его положении, выражена в вероятностной форме: вероятность нахождения электрона в положении$(r,\theta,\phi)$дан кем-то$|<r,\theta,\phi~|~\psi>|^2$предполагая, что волновая функция$|~\psi>$нормализуется.

В случае атома водорода имеем$|~\psi> \propto|~l,m_{l}>$или в координатном представлении

$$(<r,\theta,\phi~|~\psi>= \psi(r,\theta,\phi) ) \propto (<r,\theta,\phi~|~l,m_{l}>= Y_l^m(\theta,\phi))$$ то, что вы видите в левой части этого уравнения, есть не что иное, как квадратный корень из
вероятности, о которой я говорил выше, и это говорит вам, что вероятность зависит от сферических гармоник. $Y_l^m(\theta,\phi)$что также зависит от $m_l$ценить.

Таким образом, вы можете себе представить, что$m_l$сообщает вам форму сферических гармоник, которая дает вам вероятность найти электрон в некоторой точке пространства. Это лучшая из возможных орбит.

Оператор$J$- полный угловой момент, который выражается как$J = L + S$и это просто определение, которое исходит из того факта, что частицы также имеют спиновой угловой момент. Отношение собственных значений$J$(которые просто$j$) с$l$и$s$имеет довольно длинное происхождение, которое вы можете найти, например, в книге «Квантовая механика» Аулетты Фортунато Паризи. В любом случае отношение

$$|l - s| \leq j \leq |l+s|$$ все они разделены единством.