Бесщелевые ли флуктуации плотности в сверхтекучей жидкости?

Мода плотности в сверхтекучей жидкости действительно бесщелевая (на самом деле мода плотности в нормальной фазе тоже бесщелевая. Эта мода называется звуковой).

Путаница возникает из-за того, что для получения эффективного лагранжиана для$\theta$, вы должны интегрировать амплитудную моду. В результате$\theta$параметр в эффективных лагранжевых парах к плотности.

Постскриптум: Амплитуда не связана напрямую с плотностью сверхтекучей жидкости.$\rho_s$. Плотность сверхтекучей жидкости определяется выражением

$$\vec\pi = \rho_s v_s + \rho_n v_n$$ где $\vec\pi$плотность импульса и $v_s= i\hbar\nabla\theta/m$- сверхтекущая скорость. Это значит, что $\rho_s$определяет реакцию импульса на градиенты фазы. Экспериментально, $\rho_s$извлекается путем измерения скоростей первого и второго звука.

Сверхтекучие жидкости инвариантны по Галилею, поэтому при попытке понять их динамику рекомендуется начать с модели, инвариантной по Галилею. Например, модель Гросса-Питаевского (ГП), полученная из интеграла действия

$$S[\phi, \phi^\dagger]= \int d^3x dt\left\{ \phi^\dagger (i \partial_t + \frac 1{2m} \nabla^2) \phi + \mu\phi^\dagger \phi -\frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2\right\}.$$ является галилеевым инвариантом.

Это действие содержит потенциал мексиканской шляпы.

$$V(\phi)= \frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2-\mu \phi^\dagger\phi$$ который минимизируется при $\phi^\dagger\phi = \mu/\lambda$. Таким образом, возможные стационарные решения $$\langle\phi \rangle= \phi_c= e^{i\theta} \sqrt{\frac \mu \lambda}$$ В модели ГП $\rho$в $\phi= \sqrt{\rho} e^{i\theta}$ на самом деле это плотность частиц, потому что эта модель применима при очень низкой температуре, когда практически каждая частица находится в конденсате. Таким образом, равновесная плотность частиц $\rho= \mu/\lambda$.

Если мы ищем малые колебания$\phi=\phi_c+\eta$затем

$$V(\phi+\eta) \sim const+ \mu \eta^\dagger \eta +\frac 12\mu (\eta^2+(\eta^\dagger)^2)+O(\eta^3)$$ и линеаризованные уравнения движения становятся $$i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta +\mu\eta +\mu \eta^\dagger,\\ -i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta^\dagger +\mu\eta +\mu \eta^\dagger.$$ Если мы ищем решение $$\eta= a e^{ikx-i\omega t} +b^\dagger e^{-ikx+i\omega t}$$ мы находим, что $(a,b)^T$должен подчиняться $$\left[\begin{matrix} k^2/2m =\omega +\mu & \mu\cr \mu & k^2/2m +\omega+\mu\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a \cr b\end{matrix}\right]=0,$$
поэтому разрешенные частоты определяются выражением $$\omega^2 =(k^2/2m +\mu)^2 -\mu^2.$$ На маленьком $k$это становится становится $\omega^2=c^2k^2$с $c^2 =\lambda \rho_0 /m$. Эти моды представляют собой бесщелевые звуковые волны. Во время движения кончик $\phi$вектор описывает эллипс относительно положения равновесия $\phi_c$. Таким образом, эти звуковые моды представляют собой комбинацию голдстоуновского движения вдоль дна потенциальной ямы мексиканской шляпы и несовпадающих по фазе радиальных "похожих на Хиггса" радиальных колебаний. В нерелятивистской бозе-конденсированной сверхтекучей жидкости нет отдельных циркулярных "голдстоуновских" и радиальных "хиггсовских" мод . Связанные моды представляют собой звуковые волны с флуктуациями плотности $\rho_0\to \rho_0+\delta \rho$и одновременная (синфазная) возвратно-поступательная скорость, определяемая выражением $v=\nabla\theta$.

У нас было два уравнения для$\eta$которые были первым заказом во времени. Мы можем, если захотим, устранить$\rho$чтобы получить волновое уравнение второго порядка, включающее только$\theta$, или устранить$\theta$чтобы получить волновое уравнение, включающее только$\rho$--- но мы не получим уравнение второго порядка по времени, включающее обе переменные. Однако следует помнить, что линеаризованные волновые уравнения не инвариантны по отношению к Галилею. Кроме того, сосредоточение внимания только на уравнениях движения рискует отбросить$i\rho_0 \partial_t\theta$в интеграле действия на том основании, что он является полной производной. Этот топологический член числа намотки важен для динамики вихря, где он отвечает за эффект Магнуса. В его отсутствие (как недавно спросили на этом сайте) пропеллер не работал бы в сверхтекучей жидкости.