Если бозон Голдстоуна — это возбуждение, перемещающееся между вырожденными вакуумами, то как симметрии остаются нарушенными?

Это хороший вопрос. Я полагаю, что вы проводите ошибочную аналогию с примером, который часто используется для первого введения понятия SSB: одиночная нерелятивистская частица в двойной яме с потенциальным барьером, разделяющим два минимума. Пока барьер между минимумами конечен, частица может туннелировать через него и обитать в обоих минимумах, так что отражательная симметрия не нарушается. Но когда высоту барьера формально принимают за бесконечность, частица «застревает» в том или ином минимуме, нарушая симметрию. Вы думаете, что в потенциале типа мексиканской шляпы нет потенциального барьера, поэтому система должна свободно туннелировать во все минимумы, восстанавливая симметрию.

Но бесконечно высокий потенциальный барьер — довольно искусственное понятие. На самом деле это схематическое изображение более реалистичной ситуации, в которой вместо одной частицы у вас есть пространственно протяженное поле (или система многих тел на огромной решетке), определенное в большом объеме.$V$. Тогда два минимума в одночастичной картине действительно представляют две различные конфигурации поля с одинаковой полной энергией. Поскольку переход от одной конфигурации к другой требует изменения значения поля в каждой точке пространства (или пространства-времени), для этого требуется огромная энергия, пропорциональная общему объему системы.$V$. Так что «высота барьера» в одночастичной картине действительно соответствует объему$V$системы в теоретико-полевой картине. Только в формальном пределе бесконечного объема («термодинамическом») симметрия действительно нарушается.

Теперь перемещаем конфигурацию поля, скажем, из$\theta(x) \equiv 0$к$\theta(x) \equiv \delta$для какого-то крошечного угла$\delta$требуется только крошечная плотность энергии , пропорциональная$\delta$(в соответствующих единицах), но полная энергия$\delta \times V$может быть еще очень большим. Это тонкость порядка пределов: для любого сдвига$\delta$в значении поля, каким бы малым оно ни было, мы можем изобразить систему такой большой (грубо говоря, гораздо большей, чем$1/\delta$), что смещение всей системы на эту величину требует сколь угодно большого количества энергии. Таким образом, вы по-прежнему получаете «бесконечно высокий потенциальный барьер для туннелирования» в картине с одной частицей, даже несмотря на то, что плотность потенциальной энергии поля $V(\varphi)$вообще не имеет барьера.

(Чтобы сделать вещи более явно квантово-механическими, рассмотрим квантовую модель Гейзенберга на решетке. Если$|\psi\rangle$и$|\psi'\rangle$два отдельных спин-$1/2$s, повернутый на сфере Блоха на небольшой угол$\delta$, то внутренний продукт$\langle \psi | \psi' \rangle = \cos \delta \approx 1 - (1/2) \delta^2$довольно большой, поэтому спин-$1/2$может легко туннелировать между двумя состояниями. Но если мы рассмотрим две огромные системы$N \gg 1$выровненные спины$|\Psi\rangle = \otimes_{i = 1}^N |\psi\rangle_i$и$|\Psi'\rangle = \otimes_{i = 1}^N |\psi'\rangle_i$, то амплитуда туннелирования$\langle \Psi | \Psi' \rangle = \cos(\delta)^n$между двумя системами крошечный, поэтому очень сложно перевести одно состояние в другое.)

(Чтобы связать все это с ответом TwoBs: в формальном пределе бесконечного объема представление поля в виде ряда Фурье становится непрерывным преобразованием Фурье , индексируемым непрерывным параметром$k$, и мы можем говорить о расширении Тейлором соотношения дисперсии плотности энергии$\epsilon(k)$о$k = 0$. Для режима Голдстоуна имеем$\epsilon \to 0$как$k \to 0$, но это всего лишь плотность энергии - полная энергия$E(k) = V \times \epsilon(k)$по-прежнему огромен, поэтому «энергетический барьер» по-прежнему очень высок. Мода Голдстоуна должна быть бесконечно расширена в пространстве, чтобы действительно разрушить дальний порядок и восстановить симметрию, а такая бесконечно большая мода Голдстоуна по-прежнему требует слишком больших энергетических затрат для создания.)

Я не уверен, что полностью понял вопрос, но я попробую.

Я думаю, что ответ на ваш вопрос заключается в нулевом условии Адлера. Действительно, голдстоуновские бозоны (ГБ) представляли бы новый минимум только в пределе нулевого импульса (иначе их кинетическая энергия увеличивает общую энергию и создает пространственно-временные градиенты, которых нет в вакууме), что и является пределом для которых амплитуды ГБ равны нулю. Следовательно, никакого нетривиального перехода на самом деле не происходит.

Дополнительные правки после дополнительных размышлений Мое чувство, что мой ответ выше имеет смысл и является правильным, подкрепляется размышлениями о том, как вы на самом деле перемещаетесь из одного вакуума в другой, а именно, действуя с экспоненциальным оператором (потенциального *) заряда$Q=\int d^3x \, J^0=\lim_{p\rightarrow 0} \hat{J}^0(p)$. За исключением того, что при спонтанно нарушенной непрерывной глобальной симметрии ток начинается линейно в поле ГБ,$J^\mu=-f\partial_\mu\pi+\ldots$, так что$Q|0\rangle$не перемещает вас в другой вакуум, а скорее в когерентное состояние ГБ с нулевым импульсом, начиная с одной мягкой ГБ из одной частицы:$Q|0\rangle=\lim_{p_\rightarrow 0}|\pi(p)\rangle+\ldots$, для которого снова амплитуды равны нулю. Это прекрасно объяснено (и на самом деле из него даже получены мягкие теоремы) в разделе 4.1 этой прекрасной статьи https://arxiv.org/abs/0808.1446 .

*дополнительный комментарий: можно было бы беспокоиться о теореме Фабри-Пикассо (см., например, https://en.wikipedia.org/wiki/Goldstone_boson ), которая говорит нам, что заряд, строго говоря, на самом деле не существует (хотя его коммутатор всегда так). Но это утверждение является излишним, поскольку это просто утверждение о том, что одночастичные состояния с определенными импульсами, такие как$|\pi(p\rightarrow 0)\rangle$порожденного зарядом, имеют бесконечную норму, т.е.$\langle\pi(p)|\pi(k)\rangle=(2\pi)^3 2|k| \delta^3(\vec{k}-\vec{p})$. Кстати, это ИК-расхождение нормы состояния для$\vec{k}\rightarrow \vec{p}=\vec{0}$пропорциональна объему$V\rightarrow \infty$, связавшись с ответом @tparker . Мораль этой истории такова: заряда, строго говоря, не существует, а только потому, что создаются одночастичные состояния мягких импульсов. Имеет смысл тщательно рассмотреть мягкие ограничения, опять же, как в приведенной выше ссылке.

Предложение о спонтанном нарушении симметрии G означает , что, воздействуя G на вакуумную конфигурацию, мы получаем изоморфную, но другую конфигурацию. Чтобы симметрия не нарушалась, преобразования в G должны отображать вакуумную конфигурацию в ту же самую, а не только в изоморфную.

Если отразить букву R по вертикальной оси, то получится Я. Это «ya» изоморфно, но отличается, поэтому R не является лево-право-симметричным; симметрия нарушена; симметрия никогда не может создать объект, который даже выглядит по-другому (не изоморфен). Он всегда изоморфен; вопрос в том, идентичны ли они . Буква H снова отображается в H, поэтому H симметрична влево-вправо.

То, что бозоны Голдстоуна являются нетривиальными возбуждениями, доказывает, что действие G нетривиально, поэтому вакуум не симметричен относительно G.

Не уверен, что понимаю вопрос. Симметрия нарушена, потому что вы находитесь в долине. Как вы правильно сказали, передвижение по долине ничего в этом не меняет.