Эвристика, стоящая за дельта-функцией Дирака в основном уравнении для вероятности?

Вот как я пришел бы к некоторой интуиции для этого. Я бы подумал о скорости «вероятностного потока» в регион, интегрируя уравнение по региону в пространстве. А пока предположим, что диффузии вообще не происходит, поскольку это более сложно (хотя непосредственно выполнимо и понятно). Затем

$$\int_a^b dx\frac{\partial p(x,t|x_0)}{\partial t}=\int_a^bdx\left(-rp(x,t|x_0)+r\delta(x-x_0)\right),$$ который мы можем записать как $$\frac{\partial}{\partial t}\int_a^b dx~p(x,t|x_0) = -r\int_a^bdx~p(x,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ который мы можем далее записать как $$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ где $P(a\leq x\leq b,t|x_0)$есть вероятность того, что частица находится между $a$и $b$вовремя $t$учитывая, что это началось в $x_0$.

Сейчас если$x_0$не содержится в интервале$[a,b]$, то это становится

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0),$$ который просто говорит, что вероятность того, что частица находится в интервале, экспоненциально затухает со временем, что является в точности процессом их сброса, представленным экспоненциальным затуханием пребывания в определенном месте, отличном от $x_0$.

С другой стороны, если$x_0$ содержится в интервале, то уравнение принимает вид

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = r(1-P(a\leq x\leq b,t|x_0)).$$ В потоке вероятности есть два компонента: есть тот, который у нас был раньше, который говорит, что мы «теряем вероятность», потому что существует экспоненциальный процесс, от которого нужно отскочить . $x$, но мы набираем вероятность, потому что частицы прыгают в $x_0$.

Если мы рассмотрим центрированный интервал около$x_0$, затем

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) = r(1-P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0)),$$ и если мы сузим на $x_0$принимая $\epsilon$быть малой, то это приблизительно дается выражением $$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) \approx r,$$ который просто утверждает, что скорость, с которой частицы сбрасываются, точно $r$.