Уравнение Ланжевена - стохастическое дифференциальное уравнение. Какие тонкости?

$R(t)$является функцией времени, которая представляет собой сложную зависимость от времени сил, действующих на изучаемую молекулу другими молекулами.

Поскольку предполагается только корреляционная функция, единственной уникальной функции не существует.$R(t)$предполагается; хотя не все, многие функции были бы уместны. Многие из них можно сгенерировать на компьютере, используя разложение корреляционной матрицы Холецкого или методы дискретного преобразования Фурье (быстрее).

Точное решение вашего уравнения можно записать как

$$x(t) = x(0) + \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) - \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} F(\tau_2) \, .$$

$x(0)$и$\dot{x}(0)$являются начальными условиями. Затем все, что вы хотите вычислить, вы можете записать в виде выражения, которое зависит от$F(t)$и взять его среднее значение по колебаниям$F(t)$.

Например

$$\begin{align*} \langle x(t) \rangle = & \langle x(0) \rangle + \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle- \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} \\ & + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \langle F(\tau_2) \rangle \, .\end{align*}$$

Если ваша частица начинается в состоянии покоя и в начале координат,

$$\langle x(0) \rangle = 0 \, \qquad \langle \dot{x}(0) \rangle = 0 \, ,$$

и если он испытывает постоянную силу,

$$\langle F(t) \rangle = F \, ,$$

тогда вы найдете

$$\begin{align*}\langle x(t) \rangle & = \frac{F}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \\ & = \frac{F}{m} \frac{m}{6 \pi a \mu} \left[ t + \frac{m}{6 \pi a \nu} \left( \text{e}^{-\frac{6 \pi a \nu}{m}t}-1\right) \right] \, .\end{align*}$$

Вы видите, что можете выбрать статистику$F(t)$свободно. Тогда, если вы знаете моменты$F(t)$, можно вычислить моменты$x(t)$. Все дело в вычислении интегралов. Обычно выбирают гауссову статистику с

$$\langle F(t) \rangle = 0 \, , \qquad \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = D \, \delta(t_1-t_2) \, .$$

Если вы настаиваете на численном решении этой задачи, вам нужно дискретизировать время

$$t \in \left[0,\infty\right[ \rightarrow t \in \left\{t_i\right\}_{i = 1,..,N} \, .$$

Затем вы можете попробовать$F(t)$в соответствии с вашим любимым распределением вероятностей

$$P\left[F(t_1),F(t_2),..,F(t_N)\right] \, .$$

Для каждого образца вы получаете дискретную функцию,$F(t_i)$и вы можете переключиться на конечно-разностные производные (например) для решения вашего дифференциального уравнения. Затем вы усредняете в конце.

Решение этой задачи численно очень похоже на методы Рунге-Кутты, за исключением того, что$R(t)$не представляет собой обычную функцию, а обычно представляет собой число, сгенерированное генераторами псевдослучайных чисел, предоставленными вашим языком. Вы можете использовать, например, метод Heun Midpoint. Предположим, вы находитесь в состоянии$x_0,v_0$вовремя$t_0$и вы хотите найти свое состояние$x_1, v_1$вовремя$t_1$. Сначала вы найдете приближение первого порядка:

$$\tilde{r} = r_0 + \Delta t v_0$$ $$\tilde{v} = v_0 - \frac{\Delta t}{m}( \xi v + \nabla U(r_0)) +R(t_0)$$ где $U$потенциальная энергия вашей системы, поэтому $-\nabla U$сила, обусловленная внутренними взаимодействиями и $\xi$- коэффициент трения. Теперь вы используете это приближение, чтобы найти свой реальный следующий шаг, как

$${r}_1 = r_0 + \Delta t \frac{1}{2}(v_0+\tilde{v})$$ $${v}_1 = v_0 - \frac{1}{2} \frac{\Delta t}{m}( \xi (v_0 +\tilde{v}) + (\nabla U(r_0)+\nabla U(\tilde{r}))) +R(t_0).$$ Я полагаю, что это точность до второго порядка по времени. Есть также и первого порядка, такие как Эйлер-Маруяна. Как видите, он не сильно отличается от обычных детерминированных интеграторов.