Уравнение Фоккера-Планка для передемпфированного движения: как определить среднюю скорость

Рассмотрим уравнение Ланжевена в режиме передемпфирования ,

$$0 = -\gamma \dot{\mathbf{x}} -\nabla U(\mathbf{x}) +\boldsymbol{\eta}(t) \,$$

где$\boldsymbol{\eta}$- обычный термин белого шума,$U$потенциал силы и$\gamma$коэффициент демпфирования (или «матрица демпфирования»). Примечание: благодаря хорошей ссылке, приведенной в принятом ответе, я нашел, как вывести соответствующее уравнение Фоккера-Планка для этой системы.

Предполагая, что у нас есть наше уравнение Фоккера-Планка для распределения частиц$P(\mathbf{x},t)$, я полагаю ( но я не уверен ), что средняя скорость частиц определяется выражением

$$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle = -\int d^Nx \, P(\mathbf{x},t) \gamma^{-1} \nabla U(\mathbf{x}).$$

Обратите внимание, что я говорю о средней скорости: скорость отдельной частицы не определена для случая передемпфирования (броуновское движение недифференцируемо).

Теперь вот мое сомнение: в$t=0$мы могли бы выбрать определенный$P(\mathbf{x},0)$, находить$P(\mathbf{x},t)$с Fokker Planck и вычислить$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle$как указано выше. В качестве альтернативы мы могли бы попробовать$M$различные начальные условия$\mathbf{x}_i(0)$от$P(\mathbf{x},0)$, развивать каждый$\mathbf{x}_i(t)$для$i=1...M$с уравнением Ланжевена и получаем

$$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle \approx M^{-1} \sum_i \dot{\mathbf{x}}_i(t) .$$

Если это так, то какой метод вообще удобнее с численной точки зрения? Я вижу большую разницу: моделирование одного PDE (Fokker-Planck) и выполнение интегрального VS, имитирующего большое число$M$ОДУ (но выполняя простую сумму).

Похожие сообщения: Средняя скорость сверхдемпфированных частиц во внешнем поле (MathSE), Понимание средней скорости изменения броуновского движения , Что означает это наблюдение мгновенной скорости броуновских частиц? , Корреляция положения и скорости в броуновском движении .