Билинейные в присоединенном представлении

Ниже приведены два утверждения из моих заметок, и я пытаюсь их явно проверить. В обоих случаях предполагается, что поля преобразуются по фундаментальному представлению О ( Н ) -

--'Кинетический член для спинора Дирака инвариантен относительно группы симметрии U ( Н ) ⊗ U ( Н ) '.

Сначала я рассмотрел случай спинора Вейля. Это имеет кинетический член я ф ¯ р γ мю ∂ мю ф р и если ф р → U ф р затем я ф ¯ р γ мю ∂ мю ф р → я ф р † U † γ 0 γ мю ∂ мю U ф . Потому что U а гамма-матрицы действуют на разные пространства, можно просто сдвинуть U к U † а затем с помощью U U † "=" 1 получить результат? U ( Н ) ⊗ U ( Н ) поскольку спиноры Дирака возникают в результате разложения спинора Дирака на его левую и правую компоненты, каждая из которых преобразуется в соответствии с «левосторонним фундаментальным представлением» или «правосторонним фундаментальным представлением», поэтому группу симметрии можно записать как U л ( Н ) ⊗ U р ( Н ) (поправьте, если ошибся).

--'Если Т а являются генераторами О ( Н ) , билинейные ф Т Т а ф преобразовать согласно присоединенному представлению.

Мне просто интересно, всегда ли генераторы преобразуются в присоединенном представлении? Я читал здесь в другом потоке, что присоединенное представление можно рассматривать как представление, привязанное к идентичности, поэтому, если бы кто-нибудь мог пролить свет на это утверждение, это было бы здорово.

Ответы (2)

Да, первая часть вашего вопроса оценена и на нее дан обоснованный ответ. Кинетический член фермиона распадается на две независимые части, включающие левый и правый спиноры Вейля соответственно, поэтому каждый из них независим под отдельным U (N) , как вы записали.

Второй вопрос касается языка. Генератор - это матрица с одним присоединенным индексом, здесь , начиная с размерности алгебры Ли, поэтому "универсальна" в соответствии с вашим вопросом; и два индекса, каждый из которых соответствует своему представлению, например i,j , матричные индексы, ранжирующиеся по размерности этого конкретного представления. Это оператор представления, действующий на его векторы, такие как ваш φ . Например, если ваш φ находится в основной гармонике, T будет действовать на него как ф я ↦ Т я Дж а ф Дж , все в основном. Расставив точки над этим другим вектором, φ даст скаляр в фундаментальном, вашем выражении, со свободным индексом a сопряженного, поэтому тогда вектор в сопряженном. Всегда в сопряженном, независимо от того, с какого неравенства φ вы начали, если вы использовали подходящие матрицы представления для этого генератора.

Чтобы повернуть этот вектор за O (N), вам придется воздействовать на него структурными константами алгебры Ли, которые являются операторами T в сопряженном, поэтому, аналогично, ф Т Т а ф ↦ я ф а б с   ф Т Т с ф . Например, для O(3) образующими являются знакомые матрицы векторных спинов я ϵ а б с с.

Спасибо за Ваш ответ! Так всегда ли генераторы преобразуются при структурных константах? - т.е. всегда ли образующие преобразуются при присоединенном представлении? Я видел уравнение
ты † Т я ты "=" р я Дж Т Дж
где ты является элементом группы придумали много.
Ну, если хотите так выразиться: метка генератора всегда переходит в сопряженный, по структурным константам. В отношении, которое вы написали, в любом представлении вы смотрите на преобразование подобия генератора, где u s являются экспонентами генераторов, exp (i a.T ). Действие этих экспонент на T на самом деле сопряжено, поэтому ваше выражение Tj -i[ aT ,Tj] +... так что тогда только вращение индексов J. Здесь j являются сопряженными, и только они преобразуют - два других индекса неповышания просто служат в матричных умножениях.
Вы поменяли индексы, и я попался на эту удочку, чтобы максимально их запутать. В правильных обозначениях, соответствующих вашему вопросу и моему ответу, мой ответ выше гласит: ты † Т а ты "=" е − я θ ⋅ Т Т а е я θ ⋅ Т "=" е − я а г θ ⋅ Т Т а "=" Т а − я [ θ ⋅ Т , Т а ] + . . . "=" р а б θ Т б .
Спасибо! Мой последний вопрос: когда я буду использовать закон преобразования Т а ′ → ты † Т а ты для генераторов? Как, например, в С U ( 2 ) матрицы Паули, составляющие фундаментальное представление, не преобразуются.
Этого я не понял: в уравнении прямо над вашим вопросом, верном для абсолютно всех представлений, половинные матрицы Паули делают именно это: Т а "=" о а / 2 , и используя явное представление их экспоненты, вы найдете точную формулу вращения для о а .
Брать о 2 / 2 для Т а , и ты "=" опыт ⁡ ( я θ о 1 / 2 ) . Вы легко найдете о 2 → потому что ⁡ θ о 2 + грех ⁡ θ о 3 , просто правый поворот "вектора" 2 вокруг оси 1.
Один из примеров, когда вы могли бы использовать закон преобразования, — это построение инвариантов О ( Н ) . На практике вы обычно можете построить инварианты путем проверки, просто сокращая индексы так, чтобы различные матричные множители сокращались. (Вообще, вы можете получить инварианты, просто усредняя функции по группе симметрии). Вы также использовали бы закон трансформации, если бы хотели продвигать О ( Н ) глобальную симметрию к локальной симметрии.
@CosmasZachos: Понятно, думаю, я хотел сказать, что при преобразовании билинейного ф Т Т а ф Я должен преобразовать либо Т а или ф а не то и другое одновременно? Таким образом, я мог либо преобразовать Т а по присоединенному представлению или ф согласно фундаментальному представлению? И результат будет тот же? В основном вопрос возник из того, что я прочитал в другой моей теме здесь: physics.stackexchange.com/questions/248974/…
Да, результат будет тот же: прослоить приведенное выше уравнение φ s: их преобразование равносильно вращению T s. Для SU(2) в соответствии со статьей WP вы можете выполнить точное вращение, практически для всех порядков, явно - нет необходимости ограничиваться малыми углами.

(I) Предполагая, что есть Н различных фермионов в вашем лагранжиане (например, кварков в стандартной модели), кинетический член будет иметь U ( Н ) × U ( Н ) симметрия. Однако эта симметрия нарушается массовым членом, который связывает фермионы с разной направленностью.

(II) Если В является фундаментальным представлением группы Ли (с двойственным/сопряженным представлением В * ), образующие можно идентифицировать как подпространство В ⊗ В * . Если г является элементом группы Ли, то г 'действует' В ⊗ В * следующее: г ⋅ ( в ⊗ ю ) "=" ( U ( г ) в ) ⊗ ( U ( г ) ′ ю ) "=" U ( г ) в ⊗ ю U ( г − 1 ) . (Часто можно выбрать унитарное представление, так что U ( г − 1 ) "=" U ( г ) † ).

[Обратите внимание, что тензорное представление В ⊗ В * приводимо и содержит только присоединенное представление как подпредставление].

Теперь оказывается, что большой класс групп Ли можно локально выразить как экспоненту некоторого элемента в касательном пространстве вблизи единицы: т.е.

U ( г ) "=" опыт ⁡ ( − я А а ( г ) т а ) ,
где А а ( г ) некоторые г зависимые коэффициенты (локальные координаты для группы Ли) и т а являются генераторами. Экспонента интерпретируется как степенной ряд, когда разумно (когда В бесконечномерна, как и в квантовой механике, обычно указывается, что спектр А а т а ограничен снизу, так что можно использовать аналитическое продолжение).

Эти локальные координаты для группы Ли подразумевают, что действие группы, определенное выше, индуцирует действие касательного пространства около единицы (т. е. алгебры Ли, связанной с группой): А ⋅ в ⊗ ю "=" [ А , М в ⊗ ю ] , где М в ⊗ ю это «матрица», связанная с в ⊗ ю .

(«Тривиальное» (в обычном смысле) дополнение: причина высших членов порядка в разложении по степеням U ( г ) не дают альтернативных присоединенных представлений алгебры Ли, по сути, является своего рода «эффектом памяти», когда линейный член мешает компонентам более высокого порядка).

Билинейные в присоединенном представлении
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v