Почему представления, а не просто группы?

Этот вопрос, по сути, требует разъяснения того, что уже было сказано в этом вопросе. Чего я не понимаю, так это почему именно представления важны в квантовой теории поля, а не только сама группа . Добавляют ли репрезентации дополнительную структуру, которой не было у группы? Если да, то как мы узнаем, что нам нужна эта структура в нашей теории? (если есть причина, отличная от эмпирического наблюдения)

Или, сформулировав вопрос по-другому: есть ли способ написать квантовые теории поля с определенными симметриями без представления? (например, Стандартная модель).

Какая польза от группы без представительства? Каждый раз, когда группа «хорошо» действует на вектор, вы получаете представление. Отсутствие представительства означает отсутствие групповых действий, и тогда какое значение имеет группа? Я не понимаю вопроса.
В какой-то момент я подумал то же самое, думая, что репрезентация подобна выбору базиса и что все можно переформулировать независимо от базиса или репрезентации. Но это неверно даже в квантовой механике: разные представления С U ( 2 ) дать вам частицы с разными спинами! Общая структура группы просто говорит вам, что вы имеете дело с ротацией; вам нужно представительство, чтобы сказать вам все остальное.
@knzhou Я думаю, что это уже почти отвечает на мой вопрос. Могу я спросить, что именно репрезентации добавляют в структурном смысле? Например, как разные спины исходят от группы? (если это имеет смысл)
@ACuriousMind в том, что сказал knzhou, по сути, мой вопрос находится в первой части.
Ну, вы понятия не имеете, какие элементы вашей группы г обойтись без представления. Например, вы можете подумать, что какой-то элемент г представляет собой, скажем, поворот на 45 градусов вокруг г ось. Но чтобы сказать это, вы неявно выбрали векторное представление, т.е. г действует на в если в е р 3 и находится в векторном представлении. Не сделав этого, г вообще не имеет физического смысла.
Нет, представление — это не просто выбор базиса (базиса чего?), но еще оно связывает группу с векторным пространством. Векторное пространство (или одно из его инвариантных подпространств) может вести себя в соответствии с представлением. Для разных частиц вам нужны разные пространства для их обработки. Они могут иметь разную размерность и нуждаться в разных представлениях одной и той же группы.
Часть путаницы возникает из-за того, что группы Ли часто представляются как матричные группы, т.е. С U ( н ) написано в терминах н × н унитарные матрицы и так далее. Это не «группа» в самом абстрактном смысле; это особое представление группы, называемое фундаментальным представлением.
@knzhou Думаю, теперь я понял, спасибо за помощь!

Ответы (2)

Квантовая теория поля — это не изучение групп, а изучение физических состояний и наблюдаемых. Группы интересны только потому, что они воздействуют на объекты, представляющие действительный интерес. Теория представлений — это просто изучение таких действий; если нет представления группы об интересных объектах, то сама группа не интересна для КТП.

Таким образом, можно задать вопрос, почему мы изучаем группы, а не только представления. Ответ будет заключаться в том, что абстрактное понятие группы заключает в себе простейшую структуру, присутствующую в представлении, и тогда представление рассматривается как дополнительная структура поверх группы и пространства интересных объектов.

Представления представляют элементы группы (алгебры) как линейные операторы в векторном пространстве, в физике векторные пространства также обычно являются гильбертовыми, а операторы часто ортогональны или унитарны (самосопряженные), поэтому они действительно вводят довольно много дополнительной структуры. Проще всего увидеть, что представление не обязательно должно быть точным, т. е. образ группы в группе операторов не обязательно должен быть изоморфен самой группе. В описательных терминах, если мы думаем о представлении как об описании симметрий физической системы, может присутствовать только часть (или, лучше сказать, сокращенная версия) разрешенных симметрий. Но даже если представления точны и их образы изоморфны группе, они все же могут по-разному реализовывать симметрии. Например, одно представление может быть приводимым,циклический вектор , который «порождает» все пространство). Затем разбиение приводимых представлений на неприводимые можно использовать для разбиения на более простые компоненты (часто называемые секторами суперотбора ), поведение которых легче анализировать.

В бесконечномерных системах также возможно, что представления не являются унитарно эквивалентными, нет унитарного отображения между их векторными пространствами, которое соответственно соответствует их операторам. Поскольку унитарная эквивалентность отражает физическую эквивалентность, это означает, что разные представления соответствуют физически различным системам. Уоллес подробно обсуждает этот вопрос в своей статье о лагранжевой КТП (раздел 4) и приводит простой пример:Чтобы увидеть, что это за сектора, предположим, что мы начинаем со всех компонентов, имеющих ускорение вращения. Тогда действие любого элемента алгебры может, самое большее, привести к уменьшению спина конечного числа компонентов. Таким образом, никакие алгебраические действия не могут преобразовать такое состояние в такое, в котором, скажем, каждый второй компонент имеет спин вверх. Это состояние, в свою очередь, может быть преобразовано в другие состояния, отличные от него в конечном числе мест, но не в состояние, в котором все компоненты имеют спин вниз... " плотности на бесконечности, разные полные заряды или неэквивалентный вакуум для соответствующих систем квантовых полей.Так что ответ на выделенный жирным шрифтом вопрос - нет, различия в представлениях отражают различия в физике.

Почему представления, а не просто группы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v