Количество компонентов спинора

В вашем вопросе и вашем ответе есть ряд математических неточностей. Небольшой совет: вы будете менее сбиты с толку, если постараетесь избегать небрежных выражений.

Во-первых, термин спинор относится либо к фундаментальному представлению$SU(2)$или одно из нескольких спинорных представлений группы Лоренца. Это злоупотребление языком, но не плохое.

Особенно суетливый момент: то, что вы описали в первом абзаце, — это спинорное поле, т. е. функция в пространстве Минковского, принимающая значения в векторном пространстве спиноров.

Теперь к вашему основному вопросу, с максимальной педантичностью: пусть$L$обозначим связную компоненту единицы группы Лоренца$SO(3,1)$, она же правильная ортохронная подгруппа. Проективные представления$L$являются представлениями его универсальной оболочки, спиновой группы$Spin(3,1)$. Эта группа имеет два различных неприводимых представления на комплексных векторных пространствах размерности 2, обычно называемых левым и правым представлениями Вейля. Это лучше всего понять как следствие некоторого общего механизма теории представлений.

Конечномерные невозвраты$Spin(3,1)$на комплексных векторных пространствах находятся во взаимно однозначном соответствии с fd комплексными невозвратами комплексификации$\mathfrak{l}_{\mathbb{C}} = \mathfrak{spin}(3,1) \otimes \mathbb{C}$алгебры Ли$\mathfrak{spin}(3,1)$из$Spin(3,1)$. Эта алгебра Ли$\mathfrak{l}_{\mathbb{C}}$изоморфна комплексообразованию$\mathfrak{k} \otimes \mathbb{C}$алгебры Ли$\mathfrak{k} = \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$. Здесь$\mathfrak{su}(2)$является алгеброй Ли вещественной группы$SU(2)$; это реальное векторное пространство со скобкой.

Я немного суетлив по поводу того, что$\mathfrak{su}(2)$является реальным векторным пространством, потому что я хочу отметить следующее: если кто-то даст вам генераторы$J_i$($i=1,2,3$) для представления$\mathfrak{su}(2)$, можно построить представление компактной группы$SU(2)$путем взятия реальных линейных комбинаций и возведения в степень. Но если вам дадут два комплекта генераторов$A_i$и$B_i$, то вы, взяв определенные линейные комбинации с комплексными коэффициентами и возведя их в степень, получите представление$Spin(3,1)$, иначе проективное представление$L$. Если память не изменяет, 6 генераторов$A_i + B_i$(вращения) и$-i(A_i - B_i)$(повышает). Подробности см. в томе I Вайнберга, глава 5.6.

Результатом всего этого является то, что сложные проективные невозвраты$L$помечены парами полуцелых чисел$(a,b) \in \frac{1}{2}\mathbb{Z} \times \frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Комплексная размерность представления, помеченного$a$,$b$является$(2a + 1)(2b+1)$.

Левое представление Вейля есть$(1/2,0)$. Правостороннее представление Вейля$(0,1/2)$. Представление Дирака$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$. Определяющее векторное представление$L$является$(1/2,1/2)$.

Представление Дирака относится к комплексному векторному пространству, но оно имеет вещественное подпредставление, представление Майораны. Представление Майораны является реальным иррепрезентацией, но в 4d оно не является подпредставлением ни одного из представлений Вейля.

Вся эта история прекрасно обобщается на более высокие и более низкие измерения. См. Приложение B Тома 2 Полчинского.

Выяснение того, как расширить эти представления до полной группы Лоренца (путем добавления четности и обращения времени), остается читателю в качестве упражнения. Однако одно предостережение: обращение четности изменит представления Вейля.

Извините за длинное разглагольствование, но меня раздражает, когда люди используют обозначения, подразумевающие, что некоторые векторные пространства являются сферами. (Если вас это утешит, я знаю математиков, которых очень волнует разница между представлением$\rho : G \to Aut(V)$и "модуль"$V$на что действует группа.)

Хорошо - я подумал, и вот попытка ответа. Согласны ли люди с тем, что мои рассуждения верны?

Мне нужно рассмотреть всю группу Лоренца$L$, который имеет универсальное покрытие$SU(2)\times SU(2)$. Тогда одно спинорное представление$L$является основным представлением$SU(2) \times SU(2)$. Космос$\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2$на которое действует это представление, является спинорным пространством, о котором мы говорим в КТП.